15. Неравенства: #194956

1. Преобразование неравенства:
   $$(9^x-3^{x+1})^2-8(9^x-3^{x+1})-20<0$$
   Введем замену: $t=9^x-3^{x+1}$
2. Решение квадратного неравенства:
   $$t^2-8t-20<0$$
   Корни: $t=-2$ и $t=10$
   Решение: $-2<t<10$
3. Обратная замена и решение системы:
   $$\begin{cases}9^x-3^{x+1}>-2 \\ 9^x-3^{x+1}<10 \end{cases}$$ a) Первое неравенство:
   $$9^x-3\cdot3^x+2>0$$
   Замена $a=3^x$:
   $$a^2-3a+2>0\Rightarrow a<1\text{ или }a>2$$
   Решение:
   $$x<0\text{ или }x>\log_32$$ b) Второе неравенство:
   $$9^x-3\cdot3^x-10<0$$ Замена $b=3^x$: $$b^2-3b-10<0$$
   $$0<b<5\Rightarrow x<\log_35$$
4. Объединение решений:

• Для $x<0$: выполняется оба условия
• Для $x>\log_32$: должно быть $x<\log_35$ Итоговое решение:
  $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_32;\log_35)$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(\log_32;\log_35)$$