15. Неравенства: #211053

$1. $ Упростим выражение:
Заметим, что $ 2^{x+5} = 2^x \cdot 2^5 = 32 \cdot 2^x ,$ $ 4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x} .$

Также $ 2^3- x $ likely означает $ 2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = 8 \cdot 2^{-x} .$

Введем замену $ t = 2^{-x} ,$ тогда $ 2^x = \frac{1}{t} .$

Подставим в неравенство:
$$ \frac{32 \cdot \frac{1}{t}- t}{8t- t^2} \geq \frac{1}{t} $$ Упростим числитель:
$$ 32 \cdot \frac{1}{t}- t = \frac{32- t^2}{t} $$ Знаменатель: $ 8t- t^2 = t(8- t) .$
Неравенство принимает вид:
$$ \frac{\frac{32- t^2}{t}}{t(8- t)} \geq \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{32- t^2}{t^2(8- t)} \geq \frac{1}{t} $$
$2.$ Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{32- t^2}{t^2(8- t)} — \frac{1}{t} \geq 0 $$ Общий знаменатель: $ t^2(8- t) .$
$$ \frac{32- t^2- t(8- t)}{t^2(8- t)} \geq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 32- t^2- 8t + t^2 = 32- 8t = 8(4- t) $$ Получаем:
$$ \frac{8(4- t)}{t^2(8- t)} \geq 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на $-1$:
$$ \frac{-8(4- t)}{-t^2(8- t)} = \frac{8(t- 4)}{t^2(t- 8)} \geq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t- 4 = 0 \Rightarrow t = 4 .$
Знаменатель: $ t^2(t- 8) = 0 \Rightarrow t = 0 $ или $ t = 8 .$
Учитываем, что $ t = 2^{-x} > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 4) ,$ $ (4, 8) ,$ $ (8, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{8(t- 4)}{t^2(t- 8)} $:
При $ 0 < t < 4 $: $ t- 4 < 0 ,$ $ t^2 > 0 ,$ $ t- 8 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 4 < t < 8 $: $ t- 4 > 0 ,$ $ t^2 > 0 ,$ $ t- 8 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 8 $:
$ t- 4 > 0 ,$ $ t^2 > 0 ,$ $ t- 8 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 4 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 0 $ и $ t = 8 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t \leq 4 \quad \text{или} \quad t > 8 $$

$4.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 2^{-x} ,$ то:
$ 0 < 2^{-x} \leq 4 \Rightarrow 2^{-x} \leq 4 = 2^2 \Rightarrow -x \leq 2 \Rightarrow x \geq -2 .$ $ 2^{-x} > 8 = 2^3 \Rightarrow -x > 3 \Rightarrow x < -3 .$

$5.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 2^3- x- 4^{-x} \neq 0 \Rightarrow 8 \cdot 2^{-x}- 2^{-2x} \neq 0 \Rightarrow t(8- t) \neq 0 \Rightarrow t \neq 0, t \neq 8 .$
Это соответствует $ x \neq +\infty $ (так как $ t > 0 $) и $ 2^{-x} \neq 8 \Rightarrow x \neq -3 .$
В решении $ x \geq -2 $ и $ x < -3 ,$ поэтому $ x \neq -3 $ учтено.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; -3) \cup [-2; +\infty) $$ Ответ:
$$ (-\infty; -3) \cup [-2; +\infty) $$