15. Неравенства: #211049

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда неравенство примет вид:
$$ \frac{2}{9- t} \leq \frac{8}{3- t} $$
$2.$ Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{2}{9- t} — \frac{8}{3- t} \leq 0 \Rightarrow \frac{2(3- t)- 8(9- t)}{(9- t)(3- t)} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 2(3- t)- 8(9- t) = 6- 2t- 72 + 8t = 6t- 66 = 6(t- 11) $$ Получаем:
$$ \frac{6(t- 11)}{(9- t)(3- t)} \leq 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (при этом знак неравенства изменится): $$ \frac{-6(t- 11)}{(t- 9)(t- 3)} \leq 0 \Rightarrow \frac{6(11- t)}{(t- 3)(t- 9)} \leq 0 $$ Так как $6 > 0,$ можно сократить: $$ \frac{11- t}{(t- 3)(t- 9)} \leq 0 $$
$3. $ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $11- t = 0 \Rightarrow t = 11.$
Знаменатель: $(t- 3)(t- 9) = 0 \Rightarrow t = 3$ или $t = 9.$
Учитываем, что $t > 0.$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$(0, 3),$ $(3, 9),$ $(9, 11),$ $(11, +\infty).$
Определим знаки выражения $\frac{11- t}{(t- 3)(t- 9)}$:
При $0 < t < 3$: $11- t > 0,$ $t- 3 < 0,$ $t- 9 < 0$ ⇒ выражение положительно.

При $3 < t < 9$: $11- t > 0,$ $t- 3 > 0,$ $t- 9 < 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $9 < t < 11$: $11- t > 0,$ $t- 3 > 0,$ $t- 9 > 0$ ⇒ выражение положительно.

При $t > 11$:
$11- t < 0,$ $t- 3 > 0,$ $t- 9 > 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $t = 11$ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $t = 3$ и $t = 9$ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $t$:
$$ t < 3 \quad \text{или} \quad 9 < t \leq 11. $$

$4.$ Вернемся к переменной $x$:
Так как $t = 3^x,$ то:
$3^x < 3 \Rightarrow 3^x < 3^1 \Rightarrow x < 1.$
$9 < 3^x \leq 11 \Rightarrow 3^2 < 3^x \leq 11 \Rightarrow 2 < x \leq \log_3 11.$

$5. $ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$9- 3^x \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 9 \Rightarrow x \neq 2,$
$3- 3^x \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 3 \Rightarrow x \neq 1.$
В решении $x < 1$ $($исключает $x = 1 )$ и $2 < x \leq \log_3 11$ $($исключает $x = 2 ),$ поэтому область определения учтена.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 1) \cup (2; \log_3 11] $$ Ответ:
$$ (-\infty; 1) \cup (2; \log_3 11] $$