15. Неравенства: #194986

1. Преобразование неравенства:
   $$(5^{2x}-4\cdot5^x)^2-2(5^{2x}-4\cdot5^x)-15<0$$
   Введем замену: $t=5^{2x}-4\cdot5^x$
2. Решение квадратного неравенства:
   $$t^2-2t-15<0$$
   Корни: $t=-3$ и $t=5$
   Решение: $-3<t<5$
3. Обратная замена и решение системы:
   $$\begin{cases}5^{2x}-4\cdot5^x>-3 \\ 5^{2x}-4\cdot5^x<5\end{cases}$$ a) Первое неравенство:
   $$5^{2x}-4\cdot5^x+3>0$$
   Замена $a=5^x$:
   $$a^2-4a+3>0\Rightarrow a<1\text{ или }a>3$$
   Решение:
   $$x<0\text{ или }x>\log_53$$ b) Второе неравенство:
   $$5^{2x}-4\cdot5^x-5<0$$ Замена $b=5^x$: $$b^2-4b-5<0$$
   $$0<b<5\Rightarrow x<1$$
4. Объединение решений:

• Для $x<0$: выполняется оба условия
• Для $x>\log_53$: должно быть $x<1$ Итоговое решение:
  $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_53;1)$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(\log_53;1)$$