15. Неравенства: #211044

$1.$ Упростим числитель:
Заметим, что:
$$ 2^{3x} = (2^x)^3, \quad 4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2}, \quad 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x. $$ Подставим в числитель:
$$ 2^{3x}- 2 \cdot 4^{x+1} + 5 \cdot 2^{x+2}- 16 = (2^x)^3- 2 \cdot 2^{2x+2} + 5 \cdot 4 \cdot 2^x- 16 $$ Упростим:
$$ 2 \cdot 2^{2x+2} = 2 \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 = 8 \cdot 2^{2x}, \quad 5 \cdot 4 \cdot 2^x = 20 \cdot 2^x $$ Таким образом, числитель становится:
$$ (2^x)^3- 8 \cdot (2^x)^2 + 20 \cdot 2^x- 16 $$ Сделаем замену $ t = 2^x $ $($заметим, что $ t > 0 )$:
$$ t^3- 8t^2 + 20t- 16 $$
$2.$ Разложим многочлен на множители:
Проверим, является ли $ t = 2 $ корнем:
$$ 2^3- 8 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2- 16 = 8- 32 + 40- 16 = 0 $$ Значит, $ t = 2 $ — корень. Разделим многочлен на $ (t- 2) $ :
$$ t^3- 8t^2 + 20t- 16 = (t- 2)(t^2- 6t + 8) $$ Разложим квадратный трехчлен:
$$ t^2- 6t + 8 = (t- 2)(t- 4) $$ Итого:
$$ t^3- 8t^2 + 20t- 16 = (t- 2)^2(t- 4) $$ Возвращаемся к переменной $ x $:
$$ (2^x- 2)^2(2^x- 4) $$
$3.$ Подставляем в неравенство:
$$ \frac{(2^x- 2)^2(2^x- 4)}{x- 1} \geq 0 $$ Заметим, что $ (2^x- 2)^2 \geq 0 $ для всех $ x ,$ причем равно нулю только при $ 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 .$
Также $ 2^x- 4 = 2^x- 2^2 .$
Область определения: $ x- 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 .$

$4.$ Упрощаем неравенство:
Так как $ (2^x- 2)^2 \geq 0 ,$ то знак дроби определяется знаками $ (2^x- 4) $ и $ (x- 1) ,$ за исключением точки $ x = 1 ,$ где числитель обращается в ноль (но $ x = 1 $ не входит в область определения).
Таким образом, неравенство эквивалентно:
$$ \frac{2^x- 4}{x- 1} \geq 0, \quad x \neq 1 $$
Заметим, что $ 2^x- 4 = 0 $ при $ x = 2 .$

$5.$ Исследуем знаки:
Рассмотрим функцию $ f(x) = \frac{2^x- 4}{x- 1} .$
При $ x < 1 $: $ x- 1 < 0 .$ $ 2^x < 2^1 = 2 < 4 \Rightarrow 2^x- 4 < 0 .$ Таким образом, $ f(x) > 0 $ (отрицательное делить на отрицательное дает положительное).

При $ 1 < x < 2 $: $ x- 1 > 0 .$
$ 2^x < 2^2 = 4 \Rightarrow 2^x- 4 < 0 .$
Таким образом, $ f(x) < 0 .$

При $ x > 2 $:
$ x- 1 > 0 .$
$ 2^x > 4 \Rightarrow 2^x- 4 > 0 .$
Таким образом, $ f(x) > 0 .$

При $ x = 2 $:
$ 2^x- 4 = 0 \Rightarrow f(2) = 0 .$

$6.$ Учитываем точку, где числитель исходной дроби равен нулю:
При $ x = 1 $ числитель равен $ (2^1- 2)^2(2^1- 4) = 0 \cdot (-2) = 0 ,$ но знаменатель тоже равен нулю, поэтому $ x = 1 $ не входит в область определения.
При $ x = 2 $ числитель равен нулю, а знаменатель $ 2- 1 = 1 \neq 0 ,$ поэтому $ x = 2 $ является решением.

$7. $ Объединяем решения:
Из п. $5$:
$ f(x) > 0 $ при $ x < 1 $ и $ x > 2 .$
$ f(x) = 0 $ при $ x = 2 .$
Таким образом, неравенство $ f(x) \geq 0 $ выполняется при $ x < 1 $ и $ x \geq 2 .$

Но $ x = 1 $ не входит.

$8.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty) $$
Ответ: $$ (-\infty; 1) \cup [2; +\infty) $$