15. Неравенства: #211056

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Заметим, что $ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = t^2 .$
Подставим в неравенство: $$ \frac{t^2 + 2t- 117}{t- 27} \leq 1 $$
$2.$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{t^2 + 2t- 117}{t- 27}- 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 2t- 117- (t- 27)}{t- 27} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ t^2 + 2t- 117- t + 27 = t^2 + t- 90 $$ Получаем: $$ \frac{t^2 + t- 90}{t- 27} \leq 0 $$
$3.$ Разложим числитель на множители:
Решим квадратное уравнение $ t^2 + t- 90 = 0 $:
$$ D = 1^2- 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361, \quad \sqrt{D} = 19 $$ $$ t_1 = \frac{-1- 19}{2} = -10, \quad t_2 = \frac{-1 + 19}{2} = 9 $$ Таким образом:
$$ t^2 + t- 90 = (t + 10)(t- 9) $$ Неравенство принимает вид:
$$ \frac{(t + 10)(t- 9)}{t- 27} \leq 0 $$
$4.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t = -10 ,$ $ t = 9 .$
Знаменатель: $ t = 27 .$

Учитываем, что $ t > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 9) ,$ $ (9, 27) ,$ $ (27, +\infty) .$

Определим знаки выражения $ \frac{(t + 10)(t- 9)}{t- 27} $:
При $ 0 < t < 9 $: $ t + 10 > 0 ,$ $ t- 9 < 0 ,$ $ t- 27 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 9 < t < 27 $: $ t + 10 > 0 ,$ $ t- 9 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 27 $:
$ t + 10 > 0 ,$ $ t- 9 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 9 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 27 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.

Таким образом, решение для $ t $:
$$ 9 \leq t < 27 $$

$5. $ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$$ 9 \leq 3^x < 27 \Rightarrow 3^2 \leq 3^x < 3^3 \Rightarrow 2 \leq x < 3 $$
$6.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при $ 3^x- 27 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 27 \Rightarrow x \neq 3 .$
В решении $ x < 3 ,$ поэтому область определения учтена.

$7.$ Окончательный ответ: $$ x \in [2; 3) $$ Ответ:
$$ [2; 3) $$