15. Неравенства: #211057

$1.$ Упростим выражения в числителе и знаменателе:
Заметим, что:
$$3^{2x+1} = 3 \cdot 9^x $$ $$3^x \cdot 2^{x+1} = 2 \cdot 6^x $$ Разделим числитель и знаменатель на $4^x$ (что положительно при всех $x$):
$$ \frac{2 \cdot 3 \cdot \frac{9^x}{4^x}- 7 \cdot \frac{6^x}{4^x} + 2}{3 \cdot \frac{9^x}{4^x}- 2 \cdot \frac{6^x}{4^x}} $$ Упростим дроби:
$$ \frac{9^x}{4^x} = \left(\frac{9}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}, \quad \frac{6^x}{4^x} = \left(\frac{6}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^x $$ Таким образом, неравенство принимает вид:
$$ \frac{6 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}- 7 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 2}{3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}- 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x} \leq 1 $$
$2.$ Введем замену переменной:
Пусть $ t = \left(\frac{3}{2}\right)^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда:
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} = t^2 $$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{6t^2- 7t + 2}{3t^2- 2t} \leq 1 $$
$3.$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{6t^2- 7t + 2}{3t^2- 2t}- 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{6t^2- 7t + 2- (3t^2- 2t)}{3t^2- 2t} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 6t^2- 7t + 2- 3t^2 + 2t = 3t^2- 5t + 2 $$ Получаем: $$ \frac{3t^2- 5t + 2}{3t^2- 2t} \leq 0. $$
$4.$ Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $3t^2- 5t + 2 = (t- 1)(3t- 2).$
Знаменатель: $3t^2- 2t = t(3t- 2).$

Таким образом:
$$ \frac{(t- 1)(3t- 2)}{t(3t- 2)} \leq 0 $$
Сократим на $(3t- 2)$ $($при $t \neq \frac{2}{3} )$:
$$ \frac{t- 1}{t} \leq 0. $$

$5.$ Решим неравенство $\frac{t- 1}{t} \leq 0$:
Это неравенство эквивалентно:
$$ \begin{cases} t- 1 \leq 0, \ t > 0 \end{cases}$$ $$или$$ $$ \begin{cases} t- 1 \geq 0, \ t < 0 \end{cases} $$ Но $t > 0,$ поэтому:
$$ 0 < t \leq 1 $$ Однако мы сократили на $(3t- 2),$ поэтому необходимо исключить $t = \frac{2}{3}.$ Таким образом, решение для $t$: $$ 0 < t < \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad \frac{2}{3} < t \leq 1 $$ $6.$ Вернемся к переменной $x$: Так как $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x,$ то: $0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{2}{3}$: Поскольку функция $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ возрастает $($основание $> 1), $
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \Rightarrow x < -1 $$
$\frac{2}{3} < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq 1$:
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^0 \Rightarrow -1 < x \leq 0 $$
$7.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при знаменателе не равном нулю:
$$ 3 \cdot 9^x- 3^x \cdot 2^{x+1} \neq 0 $$ После деления на $4^x$ и замены это условие становится:
$$ 3t^2- 2t \neq 0 \Rightarrow t(3t- 2) \neq 0 \Rightarrow t \neq 0 \quad \text{и} \quad t \neq \frac{2}{3} $$ Это учтено в решении.
$8.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0] $$ Ответ:
$$ (-\infty; -1) \cup (-1; 0] $$