15. Неравенства: #211046

$1.$ Упростим неравенство:
Заметим, что $ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x .$ Введем замену $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 $ (так как показательная функция положительна). Тогда неравенство примет вид:
$$ \frac{1}{t + 4} \leq \frac{2}{3t- 1} $$
$2.$ Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{1}{t + 4} — \frac{2}{3t- 1} \leq 0 $$ Общий знаменатель: $ (t + 4)(3t- 1) .$ Получаем:
$$ \frac{1 \cdot (3t- 1)- 2 \cdot (t + 4)}{(t + 4)(3t- 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{3t- 1- 2t- 8}{(t + 4)(3t- 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{t- 9}{(t + 4)(3t- 1)} \leq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t- 9 = 0 \Rightarrow t = 9 .$
Знаменатель: $ (t + 4)(3t- 1) = 0 \Rightarrow t = -4 $ или $ t = \frac{1}{3} .$

Отметим эти точки на числовой прямой (учитывая, что $ t > 0 ,$ поэтому $ t = -4 $ не рассматриваем):
$$ \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad 9 $$ Определим знаки выражения $ \frac{t- 9}{(t + 4)(3t- 1)} $ на интервалах:
При $ 0 < t < \frac{1}{3} $: $ t- 9 < 0 ,$ $ t + 4 > 0 ,$ $ 3t- 1 < 0 $ $⇒$ выражение положительно (отрицательное / (положительное · отрицательное) = положительное). При $ \frac{1}{3} < t < 9 $: $ t- 9 < 0 ,$ $ t + 4 > 0 ,$ $ 3t- 1 > 0 $ $⇒$ выражение отрицательно.
При $ t > 9 $:
$ t- 9 > 0 ,$ $ t + 4 > 0 ,$ $ 3t- 1 > 0 $ $⇒$ выражение положительно.

Также при $ t = 9 $ числитель равен нулю, поэтому это точка включена (неравенство нестрогое).
При $ t = \frac{1}{3} $ знаменатель равен нулю ⇒ точка не входит в область определения.

Таким образом, решение для $ t $:
$$ \frac{1}{3} < t \leq 9 $$

$4.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$$ \frac{1}{3} < 3^x \leq 9 $$ Заметим, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 9 = 3^2 .$ Поскольку показательная функция с основанием $ 3 > 1 $ возрастает, неравенство эквивалентно:
$$ -1 < x \leq 2 $$ $5.$ Проверим область определения исходного неравенства: Знаменатели не должны обращаться в ноль: $ 3^x + 4 \neq 0 $ — выполняется всегда, так как $ 3^x > 0 .$
$ 3^{x+1}- 1 \neq 0 \Rightarrow 3^{x+1} \neq 1 \Rightarrow x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 .$

Но в решении $ x = -1 $ не входит, так как неравенство строгое $( -1 < x ).$ Таким образом, область определения учтена.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-1; 2] $$Ответ: $$ (-1; 2] $$