15. Неравенства: #211052

$1.$ Упростим выражения:
Заметим, что $ 8^{x-1} = \frac{8^x}{8} ,$ поэтому:
$$ 2 \cdot 8^{x-1} = 2 \cdot \frac{8^x}{8} = \frac{8^x}{4} = \frac{t}{4}, \quad \text{где } t = 8^x $$ Также:
$$ 64^x = (8^2)^x = 8^{2x} = t^2 $$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4}- 1} \geq \frac{3}{t- 1} + \frac{8}{t^2- 5t + 4} $$
$2.$ Упростим левую часть:
$$ \frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4}- 1} = \frac{\frac{t}{4}}{\frac{t- 4}{4}} = \frac{t}{t- 4} $$ Разложим знаменатель правой части на множители:
$$ t^2- 5t + 4 = (t- 1)(t- 4) $$ Неравенство принимает вид:
$$ \frac{t}{t- 4} \geq \frac{3}{t- 1} + \frac{8}{(t- 1)(t- 4)} $$
$3.$ Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{t}{t- 4} — \frac{3}{t- 1} — \frac{8}{(t- 1)(t- 4)} \geq 0 $$ Общий знаменатель: $ (t- 1)(t- 4) .$
$$ \frac{t(t- 1)- 3(t- 4)- 8}{(t- 1)(t- 4)} \geq 0 $$ Упростим числитель:
$$ t(t- 1)- 3(t- 4)- 8 = t^2- t- 3t + 12- 8 = t^2- 4t + 4 = (t- 2)^2 $$ Получаем:
$$ \frac{(t- 2)^2}{(t- 1)(t- 4)} \geq 0 $$
$4.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ (t- 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2 .$
Знаменатель: $ (t- 1)(t- 4) = 0 \Rightarrow t = 1 $ или $ t = 4 .$
Учитываем, что $ t = 8^x > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 1) ,$ $ (1, 2) ,$ $ (2, 4) ,$ $ (4, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{(t- 2)^2}{(t- 1)(t- 4)} $:
При $ 0 < t < 1 $: $ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 < 0 ,$ $ t- 4 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 1 < t < 2 $: $ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 ,$ $ t- 4 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ 2 < t < 4 $: $ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 ,$ $ t- 4 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 4 $:
$ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 ,$ $ t- 4 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 2 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 1 $ и $ t = 4 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t < 1 \quad \text{или} \quad t = 2 \quad \text{или} \quad t > 4 $$

$5. $ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 8^x ,$ то:
$ 0 < 8^x < 1 \Rightarrow 8^x < 8^0 \Rightarrow x < 0 .$ $ 8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} .$ $ 8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3} .$

$6.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 2 \cdot 8^{x-1}- 1 \neq 0 \Rightarrow \frac{t}{4}- 1 \neq 0 \Rightarrow t \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3} ,$
$ 8^x- 1 \neq 0 \Rightarrow t \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 ,$
$ 64^x- 5 \cdot 8^x + 4 \neq 0 \Rightarrow (t- 1)(t- 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \frac{2}{3} .$
В решении $ x < 0 $ (исключает $ x = 0 $), $ x = \frac{1}{3} ,$ и $ x > \frac{2}{3} $ $($исключает $ x = \frac{2}{3} ),$ поэтому область определения учтена.

$7.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 0) \cup \{ \frac{1}{3} \} \cup \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) $$ Ответ:
$$ (-\infty; 0) \cup \{ \frac{1}{3} \} \cup \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) $$