15. Неравенства: Логарифмические неравенства

1. Область определения:

• $2x^2+1>0$ (выполнено для всех $x\in\mathbb{R}$)
• $\dfrac{1}{32x}+1>0 \Rightarrow \dfrac{1+32x}{32x}>0$
• $\dfrac{x}{16}+1>0 \Rightarrow x>-16$ Решаем $\dfrac{1+32x}{32x}>0$:
• При $x>0$: $1+32x>0$ ⇒ $x>0$
• При $x<0$: $1+32x<0$ ⇒ $x<-\dfrac{1}{32}$ Объединяя с $x>-16$, получаем:
  $$x\in\left(-16;-\dfrac{1}{32}\right)\cup(0;+\infty)$$

1. Преобразование неравенства:
   $$\log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\right)\geq\log_{11}\left(\dfrac{x}{16}+1\right)$$
   Так как основание логарифма $11>1$, получаем:
   $$(2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\geq\dfrac{x}{16}+1$$
2. Упрощение:
   Раскрываем скобки:
   $$\dfrac{2x^2+1}{32x}+2x^2+1\geq\dfrac{x}{16}+1$$
   Умножаем на $32x$ (учитывая знак $x$):

• При $x>0$:
  $$2x^2+1+64x^3+32x\geq2x^2+32x$$
  $$64x^3+1\geq0$$
  Решение: $x\geq-\dfrac{1}{4}$ (но $x>0$ по ОДЗ) ⇒ $x>0$
• При $x<0$:
  $$2x^2+1+64x^3+32x\leq2x^2+32x$$
  $$64x^3+1\leq0$$
  Решение: $x\leq-\dfrac{1}{4}$
  Учитывая ОДЗ $\left(-16;-\dfrac{1}{32}\right)$, получаем:
  $$-16<x\leq-\dfrac{1}{4}$$

1. Объединение решений:
   $$x\in\left(-16;-\dfrac{1}{4}\right]\cup(0;+\infty)$$

Ответ:
$$\left(-16;-\dfrac{1}{4}\right]\cup(0;+\infty)$$

1. Область определения:

• $x+3>0$ ⇒ $x>-3$
• $x^2+6x+9=(x+3)^2>0$ ⇒ $x\neq-3$
• $x+2>0$ ⇒ $x>-2$
  Итого: $x>-2$

2. Преобразование неравенства:
a) Упростим логарифмы:

• $\log_{0.25}(x+3)=-\log_4(x+3)$
• $\log_4(x^2+6x+9)=2\log_4|x+3|=2\log_4(x+3)$ (так как $x>-2$) b) Подставим в неравенство:
  $$(\log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1)\cdot\log_4(x+2)\leq0$$
  $$(\log_4(x+3)-1)^2\cdot\log_4(x+2)\leq0$$

3. Анализ неравенства:

• $(\log_4(x+3)-1)^2\geq0$ всегда
• $\log_4(x+2)\leq0$ ⇒ $0<x+2\leq1$ ⇒ $-2<x\leq-1$
• При $x=1$: $\log_4(4)-1=0$ ⇒ неравенство выполняется

4. Решение:
Объединяя условия:
$$x\in(-2;-1]\cup{1}$$

Ответ:
$$(-2;-1]\cup{1}$$

1. Область определения:

• $4-x>0$ ⇒ $x<4$
• $x^2-8x+16=(x-4)^2>0$ ⇒ $x\neq4$
  Итого: $x<4$

2. Преобразование неравенства:
a) Упростим логарифмы:

• $\log_{243}(4-x)=\dfrac{1}{5}\log_3(4-x)$
• $\log_3(x^2-8x+16)=2\log_3(4-x)$ b) Подставим в неравенство:
  $$\dfrac{x^2}{5}\log_3(4-x)\leq2\log_3(4-x)$$
  $$(x^2-10)\log_3(4-x)\leq0$$

3. Анализ неравенства:
Разложим на множители:
$$(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\log_3(4-x)\leq0$$ Критические точки:

• $x=-\sqrt{10}\approx-3.162$
• $x=3$ (где $\log_3(4-x)=0$)
• $x=\sqrt{10}\approx3.162$

4. Метод интервалов:
На числовой прямой ($x<4$) отмечаем критические точки и определяем знаки:

• При $x<-\sqrt{10}$: $+$
• При $-\sqrt{10}<x<3$: $-$
• При $3<x<\sqrt{10}$: $+$
• При $\sqrt{10}<x<4$: $-$

5. Решение неравенства:

$$-\sqrt{10}\leq x\leq3$$
или
$$\sqrt{10}\leq x<4$$

Ответ:
$$[-\sqrt{10};3]\cup[\sqrt{10};4)$$

1. Область определения:

• $x-1>0$ ⇒ $x>1$
• $x-1\neq1$ ⇒ $x\neq2$
• $x+2>0$ ⇒ $x>-2$
• $x^2-2x+1>0$ ⇒ $(x-1)^2>0$ ⇒ $x\neq1$
• $10-x>0$ ⇒ $x<10$
  Итого: $1<x<10$, $x\neq2$

2. Преобразование неравенства:
a) Упростим выражения:

• $\log_{x-1}\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{2}\log_{x-1}(x+2)$
• $\log_3(x^2-2x+1)=2\log_3|x-1|=2\log_3(x-1)$ (при $x>1$)
• $\log_9(10-x)=\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$

b) Подставим в неравенство:
$$\dfrac{1}{2}\log_{x-1}(x+2)\cdot2\log_3(x-1)\geq\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$$
$$\log_{x-1}(x+2)\cdot\log_3(x-1)\geq\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$$

3. Дальнейшие преобразования:
Используем тождество $a^{\log_a b}=b$:
$$(x-1)^{\log_{x-1}(x+2)}=x+2$$
Логарифмируем по основанию $3$:
$$\log_3(x+2)\geq\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$$
$$\log_3(x+2)^2\geq\log_3(10-x)$$

4. Решение неравенства:
$$(x+2)^2\geq10-x$$
$$x^2+5x-6\geq0$$
Корни: $x=-6$, $x=1$
Решение: $x\leq-6$ или $x\geq1$ С учетом ОДЗ: $1<x<2$ или $2<x<10$

Ответ:
$$(1;2)\cup(2;10)$$

1. Область определения:

• $x>0$
• $\log_3\dfrac{x}{27}\neq0$ ⇒ $x\neq81$
• $\log_3x\neq0$ ⇒ $x\neq1$
• $\log_3^2x-\log_3x^3\neq0$ ⇒ $t^2-3t\neq0$ ⇒ $t\neq0,3$ ⇒ $x\neq1,27$

2. Замена переменной:
Пусть $t=\log_3x$, тогда:
$$\dfrac{t}{t-3}\geq\dfrac{2}{t}+\dfrac{5}{t^2-3t}$$

3. Преобразование неравенства:
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t^2-2(t-3)-5}{t(t-3)}\geq0$$
$$\dfrac{t^2-2t+1}{t(t-3)}\geq0$$
$$\dfrac{(t-1)^2}{t(t-3)}\geq0$$

4. Решение неравенства:
Метод интервалов дает:

• $t<0$
• $t=1$
• $t>3$

5. Обратная замена:

• $\log_3x<0$ ⇒ $0<x<1$
• $\log_3x=1$ ⇒ $x=3$
• $\log_3x>3$ ⇒ $x>27$

6. Исключение точек разрыва:
Учитывая ОДЗ, исключаем $x=1,27,81$

Ответ:
$$(0;1)\cup{3}\cup(27;+\infty)$$

1. Область определения:

• $x^2>0$ ⇒ $x\neq0$
• $2x^2-10x+12.5>0$ ⇒ $(x-2.5)^2>0$ ⇒ $x\neq2.5$

2. Анализ знаменателя:
$\log_6^2(2x^2-10x+12.5)+1>0$ для всех допустимых $x$, так как:

• $\log_6^2(…)\geq0$
• $+1$ делает выражение строго положительным

3. Решение неравенства:
Достаточно рассмотреть числитель:
$$\log_2(x^2)-\log_3(x^2)\geq0$$
Преобразуем:
$$\dfrac{\ln(x^2)}{\ln2}-\dfrac{\ln(x^2)}{\ln3}\geq0$$
$$\ln(x^2)\left(\dfrac{1}{\ln2}-\dfrac{1}{\ln3}\right)\geq0$$
Так как $\ln3>\ln2>0$, то $\dfrac{1}{\ln2}-\dfrac{1}{\ln3}>0$, следовательно:
$$\ln(x^2)\geq0$$
$$x^2\geq1$$
Решение: $x\leq-1$ или $x\geq1$

4. Учет области определения:
Исключаем $x=0$ и $x=2.5$

Ответ:
$$(-\infty;-1]\cup[1;2.5)\cup(2.5;+\infty)$$

1. Область определения:

• $3-x>0$ ⇒ $x<3$
• $x+2>0$ ⇒ $x>-2$
• $x^2>0$ ⇒ $x\neq0$
  Итого: $-2<x<3$, $x\neq0$

2. Анализ знаменателя:
Преобразуем знаменатель:
$$\log_3^2(x^2)+4\log_3|x|+1=(\log_3(x^2)+1)^2$$
Знаменатель всегда положителен при $x\neq0$, так как квадрат выражения.

3. Решение неравенства:
Достаточно рассмотреть числитель:
$$\log_3(3-x)\geq\log_3(x+2)$$
Так как основание логарифма $3>1$, то:
$$3-x\geq x+2$$
$$1\geq2x$$
$$x\leq0.5$$

4. Учет области определения:
Объединяя с ОДЗ:
$$-2<x<0$$
или
$$0<x\leq0.5$$

Ответ:
$$(-2;0)\cup(0;0.5]$$

1. Область определения:

• $x>0$
• $\log_2^2x+6\log_2x\neq0$ ⇒ $x\neq2^{-6}=\dfrac{1}{64}$ и $x\neq1$

2. Замена переменной:
Пусть $t=\log_2x$, тогда неравенство принимает вид:
$$\dfrac{45}{(t^2+6t)^2}+\dfrac{14}{t^2+6t}+1\geq0$$

3. Преобразование неравенства:
Обозначим $y=t^2+6t$, тогда:
$$\dfrac{45}{y^2}+\dfrac{14}{y}+1\geq0$$
Умножаем на $y^2$ (учитывая знак $y$):
$$45+14y+y^2\geq0$$
$$(y+5)(y+9)\geq0$$
Решение: $y\leq-9$ или $y\geq-5$

4. Возвращаемся к переменной $t$:
a) Случай $t^2+6t\leq-9$:
$$t^2+6t+9\leq0$$
$$(t+3)^2\leq0$$
Решение: $t=-3$ b) Случай $t^2+6t\geq-5$:
$$t^2+6t+5\geq0$$
$$(t+1)(t+5)\geq0$$
Решение: $t\leq-5$ или $t\geq-1$

5. Объединение решений:

• $t=-3$
• $t\leq-6$
• $-6<t\leq-5$
• $t\geq-1$

6. Обратная замена:

• $\log_2x=-3$ ⇒ $x=\dfrac{1}{8}$
• $\log_2x\leq-6$ ⇒ $0<x\leq\dfrac{1}{64}$
• $-6<\log_2x\leq-5$ ⇒ $\dfrac{1}{64}<x\leq\dfrac{1}{32}$
• $\log_2x\geq-1$ ⇒ $x\geq\dfrac{1}{2}$

7. Учет области определения:
Исключаем $x=\dfrac{1}{64}$ и $x=1$

Ответ:
$$\left(0;\dfrac{1}{64}\right)\cup\left(\dfrac{1}{64};\dfrac{1}{32}\right]\cup\{\dfrac{1}{8}\}\cup\left[\dfrac{1}{2};1\right)\cup(1;+\infty)$$

1. Область определения:

• $x>0$
• $x\neq1$ (так как $\log_x2$ не определен при $x=1$)
• $\log_2x\neq0$ ⇒ $x\neq1$

2. Преобразование выражения:
Используем свойство $\log_x2=\dfrac{1}{\log_2x}$
Пусть $t=\log_2x$, тогда неравенство принимает вид:
$$t+\dfrac{2}{t}\geq\dfrac{3}{t^3}$$

3. Решение неравенства:
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t^4+2t^2-3}{t^3}\geq0$$
Разложим числитель:
$$(t^2-1)(t^2+3)\geq0$$
Учитывая, что $t^2+3>0$ всегда, получаем:
$$\dfrac{(t-1)(t+1)}{t}\geq0$$ Метод интервалов дает решения:

• $t\geq1$
• $-1\leq t<0$

4. Обратная замена:

• Для $t\geq1$: $\log_2x\geq1$ ⇒ $x\geq2$
• Для $-1\leq t<0$: $-1\leq\log_2x<0$ ⇒ $\dfrac{1}{2}\leq x<1$

5. Учет области определения:
Исключаем $x=1$

Ответ:
$$\left[\dfrac{1}{2};1\right)\cup[2;+\infty)$$

1. Область определения:

• $x>0$
• $\log_2^2x-5\log_2x\neq0$ ⇒ $x\neq1$ и $x\neq32$

2. Упрощение выражения:

• $\log_2(32x)=5+\log_2x$
• $\log_2x^5=5\log_2x$
  Неравенство принимает вид:
  $$\dfrac{4+\log_2x}{\log_2^2x-5\log_2x}\geq-1$$

3. Замена переменной:
Пусть $t=\log_2x$, тогда:
$$\dfrac{4+t}{t^2-5t}\geq-1$$

4. Решение неравенства:
Переносим все в левую часть:
$$\dfrac{t^2-4t+4}{t^2-5t}\geq0$$
$$\dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geq0$$ Метод интервалов дает решения:

• $t<0$
• $t=2$
• $t>5$

5. Обратная замена:

• $\log_2x<0$ ⇒ $0<x<1$
• $\log_2x=2$ ⇒ $x=4$
• $\log_2x>5$ ⇒ $x>32$

6. Учет области определения:
Исключаем $x=1$ и $x=32$

Ответ:
$$(0;1)\cup{4}\cup(32;+\infty)$$

1. Область определения:

• $x>0$
• $\log_3x+4\neq0$ ⇒ $x\neq3^{-4}=\dfrac{1}{81}$
• $\log_3(3x)\neq0$ ⇒ $x\neq\dfrac{1}{3}$

2. Преобразование выражения:
Упростим слагаемые:

• $\log_3(3x)=1+\log_3x$
  Введем замену $t=\log_3x+1$, тогда:
  $$\dfrac{1}{t+3}+\dfrac{2}{t}\cdot\left(\dfrac{2}{t+3}-1\right)\leq0$$

3. Решение неравенства:
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t-2t-2}{t(t+3)}\leq0$$
$$\dfrac{-t-2}{t(t+3)}\leq0$$
$$\dfrac{t+2}{t(t+3)}\geq0$$ Метод интервалов дает решения:

• $-3<t\leq-2$
• $t>0$

4. Обратная замена:

• Для $-3<t\leq-2$:
  $-3<\log_3x+1\leq-2$ ⇒ $-4<\log_3x\leq-3$ ⇒ $\dfrac{1}{81}<x\leq\dfrac{1}{27}$
• Для $t>0$:
  $\log_3x+1>0$ ⇒ $\log_3x>-1$ ⇒ $x>\dfrac{1}{3}$

5. Учет области определения:
Исключаем $x=\dfrac{1}{81}$ и $x=\dfrac{1}{3}$

Ответ:
$$\left(\dfrac{1}{81},\dfrac{1}{27}\right]\cup\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)$$

1. Область определения:

• $5x-27>0$ ⇒ $x>\dfrac{27}{5}=5.4$
• $x-5>0$ ⇒ $x>5$
• $\log_5(x-5)\neq0$ ⇒ $x\neq6$
  Итого: $x>5.4$, $x\neq6$

2. Анализ знака знаменателя:

• При $5<x<6$: $\log_5(x-5)<0$
• При $x>6$: $\log_5(x-5)>0$

3. Решение неравенства:
a) Для $5.4<x<6$ (знаменатель отрицательный):
$$\log_5(5x-27)\leq\log_5(x-5)$$ $$5x-27\leq x-5$$ $$4x\leq22$$ $$x\leq5.5$$
С учетом ОДЗ: $5.4<x\leq5.5$

b) Для $x>6$ (знаменатель положительный):
$$\log_5(5x-27)\geq\log_5(x-5)$$ $$5x-27\geq x-5$$ $$4x\geq22$$ $$x\geq5.5$$

Ответ:
$$\left(\dfrac{27}{5},\dfrac{11}{2}\right]\cup(6,+\infty)$$

1. Область определения:

• $\dfrac{1}{x}-1>0$ ⇒ $0<x<1$
• $\dfrac{1}{x}+1>0$ ⇒ выполняется при $x>0$
• $27x-1>0$ ⇒ $x>\dfrac{1}{27}$
  Итого: $\dfrac{1}{27}<x<1$

2. Преобразование неравенства:
Объединяем логарифмы слева:
$$\log_2\left(\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\right)\leq\log_2(27x-1)$$
$$\log_2\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)\leq\log_2(27x-1)$$

3. Решение неравенства:
Так как основание логарифма $2>1,$ получаем:
$$\dfrac{1}{x^2}-1\leq27x-1$$ $$\dfrac{1}{x^2}\leq27x$$ $$27x^3\geq1$$ $$x\geq\dfrac{1}{3}$$

4. Учет области определения:
Объединяя с ОДЗ $\dfrac{1}{27}<x<1$, получаем:
$$\dfrac{1}{3}\leq x<1$$

Ответ:
$$\left[\dfrac{1}{3},1\right)$$

1. Область определения:

• $x-4>0$ ⇒ $x>4$
• $x-6>0$ ⇒ $x>6$
  Итого: $x>6$

2. Преобразование неравенства:
Применяем формулу разности квадратов:
$$(\log_3(x-4)-\log_3(x-6))(\log_3(x-4)+\log_3(x-6))\leq0$$

3. Рационализация неравенства:
a) Первый множитель:
$$\log_3\left(\dfrac{x-4}{x-6}\right)\leq0$$
$$\dfrac{x-4}{x-6}\leq1$$
$$\dfrac{2}{x-6}\leq0$$ ⇒ $x<6$ (не удовлетворяет ОДЗ)

b) Второй множитель:
$$\log_3((x-4)(x-6))\leq0$$ $$(x-4)(x-6)\leq1$$ $$x^2-10x+23\leq0$$
Корни: $x=5\pm\sqrt{2}$
Решение: $5-\sqrt{2}\leq x\leq5+\sqrt{2}$

4. Учет области определения:
Объединяя с $x>6$, получаем:
$$6<x\leq5+\sqrt{2}$$
(приблизительно $6<x\leq6.414$)

Ответ:
$$(6;5+\sqrt{2}]$$

1. Преобразование левой части:
Заметим, что выражение под логарифмом представляет собой куб разности:
$$x^3-9x^2+27x-27=(x-3)^3$$
Тогда:
$$\log_{27}(x-3)^3=\log_3(x-3)$$

2. Преобразование правой части:
$$\log_3(x^2-9)-4=\log_3(x^2-9)-\log_381=\log_3\left(\dfrac{x^2-9}{81}\right)$$

3. Область определения:

• $(x-3)^3>0$ ⇒ $x>3$
• $x^2-9>0$ ⇒ $x<-3$ или $x>3$
  Итого: $x>3$

4. Решение неравенства:
$$\log_3(x-3)\geq\log_3\left(\dfrac{x^2-9}{81}\right)$$
Так как основание логарифма $3>1$, получаем:
$$x-3\geq\dfrac{x^2-9}{81}$$
$$81(x-3)\geq x^2-9$$
$$x^2-81x+234\leq0$$ Решаем квадратное уравнение:
$$x=\dfrac{81\pm\sqrt{6561-936}}{2}=\dfrac{81\pm\sqrt{5625}}{2}=\dfrac{81\pm75}{2}$$
Корни: $x=3$ и $x=78$ Решение неравенства: $3\leq x\leq78$ С учетом ОДЗ: $3<x\leq78$

Ответ:
$$(3;78]$$

1. Преобразование выражений:
a) Разложим левую часть:
$$x^3-5x^2-25x+125=(x-5)^2(x+5)$$ $$\log_{0.1}(x-5)^2(x+5)=\log_{0.1}(x-5)^2+\log_{0.1}(x+5)$$ b) Упростим правую часть:
$$\log_{0.01}(x-5)^4=2\log_{0.1}(x-5)^2$$

2. Область определения:

• $(x-5)^2(x+5)>0$ ⇒ $x>-5$, $x\neq5$
• $(x-5)^4>0$ ⇒ $x\neq5$
  Итого: $x>-5$, $x\neq5$

3. Решение неравенства:
$$\log_{0.1}(x-5)^2+\log_{0.1}(x+5)\leq2\log_{0.1}(x-5)^2$$ $$\log_{0.1}(x+5)\leq\log_{0.1}(x-5)^2$$
Так как основание $0.1\in(0,1)$, знак неравенства меняется:
$$x+5\geq(x-5)^2$$ $$x+5\geq x^2-10x+25$$ $$x^2-11x+20\leq0$$ Решение квадратного неравенства:
$$x\in\left[\frac{11-\sqrt{41}}{2},\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right]\approx[2.7,7.3]$$

4. Учет всех условий:
Объединяя с ОДЗ:
$$x\in[-4,5)\cup(5,5+\sqrt{10.25}]$$
(где $\sqrt{41}\approx6.4$, поэтому $5+\sqrt{10.25}\approx8.2$)

Ответ: $$\left[-4,\frac{11-\sqrt{41}}{2}\right]\cup\left(5,\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right]$$

1. Область определения:

• $(x-4)(x^2-2x-8)>0$ ⇒ $(x-4)^2(x+2)>0$ ⇒ $x>-2$, $x\neq4$
• $(x-4)^2>0$ ⇒ $x\neq4$
  Итого: $x>-2$, $x\neq4$

2. Преобразование неравенства:
a) Упростим левую часть:
$$\log_{25}((x-4)^2(x+2))+\log_{25}25=\log_{25}(25(x-4)^2(x+2))$$

b) Преобразуем правую часть:
$$0.5\log_5(x-4)^2=\log_{25}(x-4)^2$$

c) Получаем неравенство:
$$\log_{25}(25(x-4)^2(x+2))\geq\log_{25}(x-4)^2$$

3. Решение неравенства:
Так как основание $25>1$, получаем:
$$25(x-4)^2(x+2)\geq(x-4)^2$$ $$(x-4)^2(25x+50-1)\geq0$$ $$(x-4)^2(25x+49)\geq0$$ Решение:

• $(x-4)^2\geq0$ всегда, кроме $x=4$
• $25x+49\geq0$ ⇒ $x\geq-\dfrac{49}{25}=-1.96$

4. Учет области определения:
Объединяя условия:
$$-1.96\leq x<4$$ или $$x>4$$

Ответ:
$$\left[-\dfrac{49}{25};4\right)\cup(4;+\infty)$$