Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194929
Решите неравенство:$$\log_3^2(x-4)-\log_3^2(x-6)\leq0$$
1. Область определения:
- $x-4>0$ ⇒ $x>4$
- $x-6>0$ ⇒ $x>6$
Итого: $x>6$
2. Преобразование неравенства:
Применяем формулу разности квадратов:
$$(\log_3(x-4)-\log_3(x-6))(\log_3(x-4)+\log_3(x-6))\leq0$$
3. Рационализация неравенства:
a) Первый множитель:
$$\log_3\left(\dfrac{x-4}{x-6}\right)\leq0$$
$$\dfrac{x-4}{x-6}\leq1$$
$$\dfrac{2}{x-6}\leq0$$ ⇒ $x<6$ (не удовлетворяет ОДЗ)
b) Второй множитель:
$$\log_3((x-4)(x-6))\leq0$$ $$(x-4)(x-6)\leq1$$ $$x^2-10x+23\leq0$$
Корни: $x=5\pm\sqrt{2}$
Решение: $5-\sqrt{2}\leq x\leq5+\sqrt{2}$
4. Учет области определения:
Объединяя с $x>6$, получаем:
$$6<x\leq5+\sqrt{2}$$
(приблизительно $6<x\leq6.414$)
Ответ:
$$(6;5+\sqrt{2}]$$
20
