Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194927
Решите неравенство:
$$\log_2\left(\dfrac{1}{x}-1\right)+\log_2\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\leq\log_2(27x-1)$$
1. Область определения:
- $\dfrac{1}{x}-1>0$ ⇒ $0<x<1$
- $\dfrac{1}{x}+1>0$ ⇒ выполняется при $x>0$
- $27x-1>0$ ⇒ $x>\dfrac{1}{27}$
Итого: $\dfrac{1}{27}<x<1$
2. Преобразование неравенства:
Объединяем логарифмы слева:
$$\log_2\left(\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\left(\dfrac{1}{x}+1\right)\right)\leq\log_2(27x-1)$$
$$\log_2\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)\leq\log_2(27x-1)$$
3. Решение неравенства:
Так как основание логарифма $2>1,$ получаем:
$$\dfrac{1}{x^2}-1\leq27x-1$$ $$\dfrac{1}{x^2}\leq27x$$ $$27x^3\geq1$$ $$x\geq\dfrac{1}{3}$$
4. Учет области определения:
Объединяя с ОДЗ $\dfrac{1}{27}<x<1$, получаем:
$$\dfrac{1}{3}\leq x<1$$
Ответ:
$$\left[\dfrac{1}{3},1\right)$$
20
