16. Неравенства: #194931

1. Преобразование левой части:
Заметим, что выражение под логарифмом представляет собой куб разности:
$$x^3-9x^2+27x-27=(x-3)^3$$
Тогда:
$$\log_{27}(x-3)^3=\log_3(x-3)$$

2. Преобразование правой части:
$$\log_3(x^2-9)-4=\log_3(x^2-9)-\log_381=\log_3\left(\dfrac{x^2-9}{81}\right)$$

3. Область определения:

• $(x-3)^3>0$ ⇒ $x>3$
• $x^2-9>0$ ⇒ $x<-3$ или $x>3$
  Итого: $x>3$

4. Решение неравенства:
$$\log_3(x-3)\geq\log_3\left(\dfrac{x^2-9}{81}\right)$$
Так как основание логарифма $3>1$, получаем:
$$x-3\geq\dfrac{x^2-9}{81}$$
$$81(x-3)\geq x^2-9$$
$$x^2-81x+234\leq0$$ Решаем квадратное уравнение:
$$x=\dfrac{81\pm\sqrt{6561-936}}{2}=\dfrac{81\pm\sqrt{5625}}{2}=\dfrac{81\pm75}{2}$$
Корни: $x=3$ и $x=78$. Решение неравенства: $3\leq x\leq78$. С учетом ОДЗ: $3<x\leq78$

Ответ:
$$(3;78]$$