16. Неравенства: #194951

1. Преобразование выражений:
a) Разложим левую часть:
$$x^3-5x^2-25x+125=(x-5)^2(x+5)$$ $$\log_{0.1}(x-5)^2(x+5)=\log_{0.1}(x-5)^2+\log_{0.1}(x+5)$$ b) Упростим правую часть:
$$\log_{0.01}(x-5)^4=2\log_{0.1}(x-5)^2$$

2. Область определения:

• $(x-5)^2(x+5)>0$ ⇒ $x>-5$, $x\neq5$
• $(x-5)^4>0$ ⇒ $x\neq5$
  Итого: $x>-5$, $x\neq5$

3. Решение неравенства:
$$\log_{0.1}(x-5)^2+\log_{0.1}(x+5)\leq2\log_{0.1}(x-5)^2$$ $$\log_{0.1}(x+5)\leq\log_{0.1}(x-5)^2$$
Так как основание $0.1\in(0,1)$, знак неравенства меняется:
$$x+5\geq(x-5)^2$$ $$x+5\geq x^2-10x+25$$ $$x^2-11x+20\leq0$$ Решение квадратного неравенства:
$$x\in\left[\frac{11-\sqrt{41}}{2},\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right]\approx[2.7,7.3]$$

4. Учет всех условий:
Объединяя с ОДЗ:
$$x\in[-4,5)\cup(5,5+\sqrt{10.25}]$$
(где $\sqrt{41}\approx6.4$, поэтому $5+\sqrt{10.25}\approx8.2$)

Ответ: $$\left[-4,\frac{11-\sqrt{41}}{2}\right]\cup\left(5,\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right]$$