16. Неравенства: #194953

1. Область определения:

• $(x-4)(x^2-2x-8)>0$ ⇒ $(x-4)^2(x+2)>0$ ⇒ $x>-2$, $x\neq4$
• $(x-4)^2>0$ ⇒ $x\neq4$
  Итого: $x>-2$, $x\neq4$

2. Преобразование неравенства:
a) Упростим левую часть:
$$\log_{25}((x-4)^2(x+2))+\log_{25}25=\log_{25}(25(x-4)^2(x+2))$$

b) Преобразуем правую часть:
$$0.5\log_5(x-4)^2=\log_{25}(x-4)^2$$

c) Получаем неравенство:
$$\log_{25}(25(x-4)^2(x+2))\geq\log_{25}(x-4)^2$$

3. Решение неравенства:
Так как основание $25>1$, получаем:
$$25(x-4)^2(x+2)\geq(x-4)^2$$ $$(x-4)^2(25x+50-1)\geq0$$ $$(x-4)^2(25x+49)\geq0$$ Решение:

• $(x-4)^2\geq0$ всегда, кроме $x=4$
• $25x+49\geq0$ ⇒ $x\geq-\dfrac{49}{25}=-1.96$

4. Учет области определения:
Объединяя условия:
$$-1.96\leq x<4$$ или $$x>4$$

Ответ:
$$\left[-\dfrac{49}{25};4\right)\cup(4;+\infty)$$