16. Неравенства: #211071

Введем замену: пусть $ t = \log_3 x .$ Тогда: $$ \log_3 (27x^6) = \log_3 27 + \log_3 x^6 = 3 + 6\log_3 x = 3 + 6t $$ Подставим в неравенство: $$ 1 + \frac{6}{t- 3} + \frac{5}{t^2- (3 + 6t) + 12} \geq 0 $$ Упростим знаменатель третьей дроби: $$ t^2- (3 + 6t) + 12 = t^2- 6t + 9 = (t- 3)^2 $$ Таким образом, неравенство принимает вид: $$ 1 + \frac{6}{t- 3} + \frac{5}{(t- 3)^2} \geq 0 $$ Приведем все слагаемые к общему знаменателю $ (t- 3)^2 $: $$ \frac{(t- 3)^2}{(t- 3)^2} + \frac{6(t- 3)}{(t- 3)^2} + \frac{5}{(t- 3)^2} \geq 0 $$ $$ \frac{(t- 3)^2 + 6(t- 3) + 5}{(t- 3)^2} \geq 0 $$
Раскроем скобки и упростим числитель: $$ (t- 3)^2 + 6(t- 3) + 5 = t^2- 6t + 9 + 6t- 18 + 5 = t^2- 4 $$ Получаем: $$ \frac{t^2- 4}{(t- 3)^2} \geq 0 $$ Разложим числитель на множители: $$ \frac{(t- 2)(t + 2)}{(t- 3)^2} \geq 0 $$

Решим неравенство методом интервалов. Знаменатель $ (t- 3)^2 $ всегда положителен, кроме точки $ t = 3 ,$ где он обращается в ноль (но эта точка не входит в область определения, так как знаменатели исходных дробей не могут быть нулевыми). Таким образом, неравенство сводится к: $$ (t- 2)(t + 2) \geq 0 $$ Корни числителя: $ t = -2 ,$ $ t = 2 .$ Получаем интервалы:
$ t \leq -2 $: выражение $ \geq 0 ,$
$ -2 < t < 2 $: выражение $ < 0 ,$
$ t \geq 2 $: выражение $ \geq 0 .$

Но необходимо исключить точку $ t = 3 ,$ так как знаменатель обращается в ноль. Таким образом, решение: $$ t \leq -2 \quad \text{или} \quad 2 \leq t < 3 \quad \text{или} \quad t > 3 $$ Возвращаемся к исходной переменной $ x ,$ учитывая, что $ t = \log_3 x $:

$1.$ $ \log_3 x \leq -2 \Rightarrow 0 < x \leq 3^{-2} = \frac{1}{9} ,$ $2.$ $ 2 \leq \log_3 x < 3 \Rightarrow 3^2 \leq x < 3^3 \Rightarrow 9 \leq x < 27 ,$ $3.$ $ \log_3 x > 3 \Rightarrow x > 27 .$

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $$ (0; \frac{1}{9}\Big] \cup \Big[9; 27) \cup (27; +\infty) $$