16. Неравенства: #211072

Упростим неравенство, используя свойства логарифмов. Заметим, что $$ \frac{1}{6} \log_3(x+1)^6 = \log_3 |x+1| $$ так как при возведении в степень и извлечении корня четной степени подлогарифмическое выражение должно быть неотрицательным, но здесь мы учитываем модуль. Таким образом, исходное неравенство эквивалентно: $$ \log_3(x+7) + \log_3 |x+1| \geq 2 $$ Используем свойство суммы логарифмов: $$ \log_3 \left( |x+1| \cdot (x+7) \right) \geq 2 $$ Перепишем неравенство в виде $$ |x+1| \cdot (x+7) \geq 3^2 = 9 $$ Теперь необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $x+1.$

Случай $1$: $x+1 < 0,$ то есть $x < -1.$ В этом случае $|x+1| = -(x+1).$ Тогда неравенство принимает вид: $$ -(x+1)(x+7) \geq 9 $$ Умножим обе части на $-1$ (не забывая развернуть знак неравенства): $$ (x+1)(x+7) \leq -9 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 8x + 7 \leq -9 $$ $$ x^2 + 8x + 16 \leq 0 $$ $$ (x+4)^2 \leq 0 $$ Квадрат выражения неотрицателен, поэтому равенство возможно, только когда $$ x+4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -4 $$ Теперь проверим ограничения для этого случая: $x < -1.$ Значение $x = -4$ удовлетворяет этому условию. Также учтем область определения логарифмов: $x+7 > 0 \Rightarrow x > -7,$
$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1.$

Значение $x = -4$ удовлетворяет и этим условиям. Таким образом, в первом случае получаем решение $x = -4.$

Случай $2$: $x+1 \geq 0,$ то есть $x \geq -1.$
Тогда $|x+1| = x+1,$ и неравенство принимает вид: $$ (x+1)(x+7) \geq 9 $$ Раскроем скобки: $$ x^2 + 8x + 7 \geq 9 $$ $$ x^2 + 8x- 2 \geq 0 $$ Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 + 8x- 2 = 0$: $$ x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 8}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{72}}{2} = \frac{-8 \pm 6\sqrt{2}}{2} = -4 \pm 3\sqrt{2} $$ Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $x^2 + 8x- 2 \geq 0$ выполняется при $$ x \leq -4- 3\sqrt{2} \quad \text{или} \quad x \geq -4 + 3\sqrt{2} $$ Учитывая ограничение $x \geq -1,$ отбрасываем левую часть $($поскольку $-4- 3\sqrt{2} < -1 ).$ Таким образом, получаем: $$ x \geq -4 + 3\sqrt{2} $$ Также проверим область определения: $x > -7$ и $x \neq -1.$ Условие $x \geq -4 + 3\sqrt{2}$ $($где $-4 + 3\sqrt{2} \approx -4 + 4.24 = 0.24 > -1 )$ автоматически удовлетворяет этим ограничениям.

Объединяем решения из обоих случаев:
из первого случая: $x = -4,$
из второго случая: $x \geq -4 + 3\sqrt{2}.$

Таким образом, окончательный ответ: $$ x = -4 \quad \text{или} \quad x \geq -4 + 3\sqrt{2} $$ Ответ:
$$ ({-4} \cup [-4 + 3\sqrt{2};\ +\infty)] $$