16. Неравенства: #211073

Воспользуемся свойствами логарифмов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ \log_5 \left( (3- x)(x^2 + 2) \right)- \log_5 \left( x^2- 7x + 12 \right)- \log_5 (5- x) \geq 0 $$ Объединим логарифмы в правой части: $$ \log_5 \left( (3- x)(x^2 + 2) \right) \geq \log_5 \left( (x^2- 7x + 12)(5- x) \right) $$ Так как логарифмическая функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, неравенство эквивалентно: $$ (3- x)(x^2 + 2) \geq (x^2- 7x + 12)(5- x) $$
Кроме того, необходимо учесть область определения всех логарифмов:

$1.$ $(3- x)(x^2 + 2) > 0,$
$2.$ $x^2- 7x + 12 > 0,$
$3.$ $5- x > 0.$

Заметим, что $x^2 + 2 > 0$ при всех $x,$ поэтому первое условие сводится к $3- x > 0,$ то есть $x < 3.$ Третье условие: $5- x > 0 \Rightarrow x < 5.$ Второе условие: $x^2- 7x + 12 > 0.$ Решим квадратное неравенство: $$ x^2- 7x + 12 > 0 \quad \Rightarrow \quad (x- 3)(x- 4) > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 3 \quad \text{или} \quad x > 4 $$ Таким образом, область определения: $$ x < 3 \quad \text{(из условий } x < 3, x < 5, \text{ и } x < 3 \text{ или } x > 4\text{)} $$
Теперь решим неравенство: $$ (3- x)(x^2 + 2) \geq (x^2- 7x + 12)(5- x) $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (3- x)(x^2 + 2)- (x^2- 7x + 12)(5- x) \geq 0 $$ Вынесем общий множитель $(3- x)$ $($или $(x- 3) )$ для удобства. Заметим, что $3- x = -(x- 3),$ и $5- x = -(x- 5).$ Преобразуем:
$$ (3- x)(x^2 + 2)- (x- 3)(x- 4)(5- x) \geq 0 $$ Заменим $3- x = -(x- 3)$ и $5- x = -(x- 5)$:
$$ -(x- 3)(x^2 + 2)- (x- 3)(x- 4) \cdot (-(x- 5)) \geq 0 $$ $$ -(x- 3)(x^2 + 2) + (x- 3)(x- 4)(x- 5) \geq 0 $$ Вынесем общий множитель $(x- 3)$: $$ (x- 3) \left[ -(x^2 + 2) + (x- 4)(x- 5) \right] \geq 0 $$ $$ (x- 3) \left[ -x^2- 2 + (x^2- 9x + 20) \right] \geq 0 $$ $$ (x- 3) \left( -x^2- 2 + x^2- 9x + 20 \right) \geq 0 $$ $$ (x- 3)(-9x + 18) \geq 0 $$ $$ (x- 3) \cdot (-9)(x- 2) \geq 0 $$

Умножим обе части на $-1$ (не забывая развернуть знак неравенства): $$ -9 (x- 3)(x- 2) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad (x- 3)(x- 2) \leq 0 $$ Решим неравенство $(x- 3)(x- 2) \leq 0.$ Корни: $x = 2$ и $x = 3.$ Метод интервалов дает решение: $$ 2 \leq x \leq 3 $$ Теперь учтем область определения: $x < 3.$ Таким образом, из промежутка $2 \leq x \leq 3$ исключаем $x = 3$ $($так как $x < 3 ),$ и получаем: $$ 2 \leq x < 3 $$ Проверим границу $x = 2$: $(3- 2)(2^2 + 2) = 1 \cdot 6 = 6 > 0,$
$x^2- 7x + 12 = 4- 14 + 12 = 2 > 0,$
$5- 2 = 3 > 0.$

Все условия выполнены, поэтому $x = 2$ входит в решение.

Ответ: $$ [2;\ 3) $$