16. Неравенства: #211074

Воспользуемся свойствами логарифмов. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$$ \log_{\frac{1}{3}} \left( (4-x)(x^2+29) \right)- \log_{\frac{1}{3}} \left( x^2-10x+24 \right)- \log_{\frac{1}{3}} (7-x) \leq 0 $$ Объединим логарифмы в правой части: $$ \log_{\frac{1}{3}} \left( (4-x)(x^2+29) \right) \leq \log_{\frac{1}{3}} \left( (x^2-10x+24)(7-x) \right) $$ Так как логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{3} < 1$ является убывающей, неравенство эквивалентно (знак неравенства меняется): $$ (4-x)(x^2+29) \geq (x^2-10x+24)(7-x) $$

Кроме того, необходимо учесть область определения всех логарифмов:

$1.$ $(4-x)(x^2+29) > 0,$
$2.$ $x^2-10x+24 > 0,$
$3.$ $7-x > 0.$

Заметим, что $x^2+29 > 0$ при всех $x,$ поэтому первое условие сводится к $4-x > 0,$ то есть $x < 4.$ Третье условие: $7-x > 0 \Rightarrow x < 7.$ Второе условие: $x^2-10x+24 > 0.$ Решим квадратное неравенство: $$ x^2-10x+24 > 0 \quad \Rightarrow \quad (x-4)(x-6) > 0 \quad \Rightarrow \quad x < 4 \quad \text{или} \quad x > 6 $$
Таким образом, область определения:
$$ x < 4 \quad \text{(из условий } x < 4, x < 7, \text{ и } x < 4 \text{ или } x > 6\text{)} $$

Теперь решим неравенство: $$ (4-x)(x^2+29) \geq (x^2-10x+24)(7-x) $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ (4-x)(x^2+29)- (x^2-10x+24)(7-x) \geq 0 $$ Вынесем общие множители. Заметим, что $4-x = -(x-4)$ и $7-x = -(x-7).$ Преобразуем:
$$ (4-x)(x^2+29)- (x-4)(x-6)(7-x) \geq 0 $$ Заменим $4-x = -(x-4)$ и $7-x = -(x-7)$: $$ -(x-4)(x^2+29)- (x-4)(x-6) \cdot (-(x-7)) \geq 0 $$ $$ -(x-4)(x^2+29) + (x-4)(x-6)(x-7) \geq 0 $$ Вынесем общий множитель $(x-4)$: $$ (x-4) \left[ -(x^2+29) + (x-6)(x-7) \right] \geq 0 $$ Упростим выражение в скобках: $$ -(x^2+29) + (x-6)(x-7) = -x^2- 29 + (x^2 -13x + 42) = -x^2- 29 + x^2 -13x + 42 = -13x + 13 $$ Таким образом: $$ (x-4)(-13x + 13) \geq 0 $$ Вынесем общий множитель во второй скобке: $$ (x-4) \cdot (-13)(x- 1) \geq 0 $$ Умножим обе части на $-1$ (не забывая развернуть знак неравенства): $$ -13 (x-4)(x-1) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad (x-4)(x-1) \leq 0 $$ Решим неравенство $(x-4)(x-1) \leq 0.$ Корни: $x = 1$ и $x = 4.$ Метод интервалов дает решение: $$ 1 \leq x \leq 4 $$ Теперь учтем область определения: $x < 4.$ Таким образом, из промежутка $1 \leq x \leq 4$ исключаем $x = 4$ $($так как $x < 4 ), $ и получаем:
$$ 1 \leq x < 4 $$

Проверим границу $x = 1$:
$(4-1)(1^2+29) = 3 \cdot 30 = 90 > 0,$
$x^2-10x+24 = 1 -10 +24 = 15 > 0,$
$7-1 = 6 > 0.$

Все условия выполнены, поэтому $x = 1$ входит в решение.

Ответ: $$ [1;\ 4) $$