16. Неравенства: #211076

Воспользуемся свойствами логарифмов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ \log_6 (21- 7x)- \log_6 (x^2- 8x + 15)- \log_6 (x + 3) \geq 0 $$ Объединим логарифмы в правой части: $$ \log_6 (21- 7x) \geq \log_6 \left( (x^2- 8x + 15)(x + 3) \right) $$ Так как логарифмическая функция с основанием $6 > 1$ является возрастающей, неравенство эквивалентно: $$ 21- 7x \geq (x^2- 8x + 15)(x + 3) $$
Кроме того, необходимо учесть область определения всех логарифмов:

$1.$ $21- 7x > 0,$
$2.$ $x^2- 8x + 15 > 0,$
$3.$ $x + 3 > 0.$

Упростим каждое условие:

$1.$ $21- 7x > 0 \Rightarrow 7x < 21 \Rightarrow x < 3.$ $2.$ $x^2- 8x + 15 > 0.$ Решим квадратное неравенство: $$ x^2- 8x + 15 > 0 \Rightarrow (x- 3)(x- 5) > 0 \Rightarrow x < 3 \quad \text{или} \quad x > 5 $$ $3.$ $x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3.$

Таким образом, область определения: $$ -3 < x < 3 \quad \text{(так как } x < 3 \text{ и } x > -3\text{)} $$

Теперь решим неравенство: $$ 21- 7x \geq (x^2- 8x + 15)(x + 3) $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 21- 7x- (x^2- 8x + 15)(x + 3) \geq 0 $$ Раскроем скобки в правой части: $$ (x^2- 8x + 15)(x + 3) = x^3 + 3x^2- 8x^2- 24x + 15x + 45 = x^3- 5x^2- 9x + 45 $$ Таким образом: $$ 21- 7x- x^3 + 5x^2 + 9x- 45 \geq 0 $$ $$ -x^3 + 5x^2 + 2x- 24 \geq 0 $$ Умножим обе части на $-1$ (не забывая развернуть знак неравенства): $$ x^3- 5x^2- 2x + 24 \leq 0 $$
Разложим кубический многочлен на множители. Подбором находим корень $x = -2$:
$$ (-2)^3- 5(-2)^2- 2(-2) + 24 = -8- 20 + 4 + 24 = 0 $$
Выполним деление многочлена на $(x + 2)$:
$$ x^3- 5x^2- 2x + 24 = (x + 2)(x^2- 7x + 12) $$
Разложим квадратный трехчлен:
$$ x^2- 7x + 12 = (x- 3)(x- 4) $$
Таким образом: $$ (x + 2)(x- 3)(x- 4) \leq 0 $$

Решим неравенство методом интервалов. Корни: $x = -2,$ $x = 3,$ $x = 4.$ Расставим знаки на интервалах:

При $x < -2$: отрицательно, при $-2 < x < 3$: положительно, при $3 < x < 4$: отрицательно, при $x > 4$: положительно.

Нас интересует $x \leq 0,$ поэтому:
$$ x \leq -2 \quad \text{или} \quad 3 \leq x \leq 4 $$ Теперь учтем область определения: $-3 < x < 3.$ Таким образом, из решений неравенства подходят только:
$$ -3 < x \leq -2 $$
Проверим границу $x = -2$:

$21- 7(-2) = 21 + 14 = 35 > 0,$
$x^2- 8x + 15 = 4 + 16 + 15 = 35 > 0,$
$x + 3 = 1 > 0.$

Все условия выполнены, поэтому $x = -2$ входит в решение.

Ответ: $$ (-3;\ -2] $$