16. Неравенства: #211078

Воспользуемся свойствами логарифмов. Объединим логарифмы в левой части: $$ \log_3 \left[ \left( \frac{1}{x}- 1 \right) \left( \frac{1}{x} + 1 \right) \right] \leq \log_3 (8x- 1) $$ Упростим выражение под логарифмом: $$ \left( \frac{1}{x}- 1 \right) \left( \frac{1}{x} + 1 \right) = \frac{1}{x^2}- 1 $$ Таким образом, неравенство принимает вид: $$ \log_3 \left( \frac{1}{x^2}- 1 \right) \leq \log_3 (8x- 1) $$
Так как логарифмическая функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, неравенство эквивалентно: $$ \frac{1}{x^2}- 1 \leq 8x- 1 $$
Кроме того, необходимо учесть область определения всех логарифмов:

$1.$ $\frac{1}{x}- 1 > 0,$
$2.$ $\frac{1}{x} + 1 > 0,$
$3.$ $8x- 1 > 0.$

Решим каждое условие:
$1.$ $\frac{1}{x}- 1 > 0 \Rightarrow \frac{1- x}{x} > 0.$ Это неравенство выполняется при $0 < x < 1.$ $2.$ $\frac{1}{x} + 1 > 0 \Rightarrow \frac{1 + x}{x} > 0.$ Это неравенство выполняется при $x > 0$ или $x < -1.$ $3.$ $8x- 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{8}.$

Учитывая все условия, получаем область определения:
$$ 0 < x < 1 $$ Теперь решим неравенство: $$ \frac{1}{x^2}- 1 \leq 8x- 1 $$ Упростим: $$ \frac{1}{x^2}- 1 \leq 8x- 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x^2} \leq 8x $$ Умножим обе части на $x^2$ (так как $x > 0,$ знак неравенства не меняется): $$ 1 \leq 8x^3 \quad \Rightarrow \quad 8x^3 \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x^3 \geq \frac{1}{8} \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2} $$
Теперь учтем область определения $0 < x < 1.$ Таким образом, решение: $$ \frac{1}{2} \leq x < 1 $$
Проверим границу $x = \frac{1}{2}$:

$\frac{1}{x}- 1 = 2- 1 = 1 > 0,$
$\frac{1}{x} + 1 = 2 + 1 = 3 > 0,$
$8x- 1 = 4- 1 = 3 > 0.$

Все условия выполнены, поэтому $x = \frac{1}{2}$ входит в решение.

Ответ: $$ \Big[ \frac{1}{2};\ 1 \Big) $$