16. Неравенства: #211079

Воспользуемся свойствами логарифмов. Преобразуем второе слагаемое в левой части: $$ \log_2 \left( \frac{1}{x}- 2 \right) = \log_2 \left( \frac{1- 2x}{x} \right) = \log_2 (1- 2x)- \log_2 x $$
Подставим это в исходное неравенство: $$ 2\log_2 (1-2x)- \left( \log_2 (1-2x)- \log_2 x \right) \leq \log_2 (4x^2 + 6x- 1) $$ $$ 2\log_2 (1-2x)- \log_2 (1-2x) + \log_2 x \leq \log_2 (4x^2 + 6x- 1) $$ $$ \log_2 (1-2x) + \log_2 x \leq \log_2 (4x^2 + 6x- 1) $$
Объединим логарифмы в левой части: $$ \log_2 \left( x(1-2x) \right) \leq \log_2 (4x^2 + 6x- 1) $$
Так как логарифмическая функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, неравенство эквивалентно: $$ x(1-2x) \leq 4x^2 + 6x- 1 $$
Кроме того, необходимо учесть область определения всех логарифмов:

$1.$ $1-2x > 0,$
$2.$ $\frac{1}{x}- 2 > 0,$
$3.$ $x > 0$ (из второго условия, так как логарифм определен только для положительных аргументов),
$4.$ $4x^2 + 6x- 1 > 0.$

Решим каждое условие:

$1.$ $1-2x > 0 \Rightarrow x < \frac{1}{2}.$ $2.$ $\frac{1}{x}- 2 > 0 \Rightarrow \frac{1- 2x}{x} > 0.$ Так как $x > 0,$ это неравенство эквивалентно $1- 2x > 0,$ то есть $x < \frac{1}{2}.$ $3. $ $x > 0.$
$4.$ $4x^2 + 6x- 1 > 0.$ Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $4x^2 + 6x- 1 = 0$:
$$ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 16}}{8} = \frac{-6 \pm \sqrt{52}}{8} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{13}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{4} $$
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $4x^2 + 6x- 1 > 0$ выполняется при:
$$ x < \frac{-3- \sqrt{13}}{4} \quad \text{или} \quad x > \frac{-3 + \sqrt{13}}{4} $$ Заметим, что $\frac{-3 + \sqrt{13}}{4} \approx \frac{-3 + 3.6}{4} = 0.15,$ а $\frac{-3- \sqrt{13}}{4} < 0.$

Учитывая все условия, получаем область определения:
$$ 0 < x < \frac{1}{2} $$ Теперь решим неравенство: $$ x(1-2x) \leq 4x^2 + 6x- 1 $$ Раскроем скобки в левой части: $$ x- 2x^2 \leq 4x^2 + 6x- 1 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ x- 2x^2- 4x^2- 6x + 1 \leq 0 $$ $$ -6x^2- 5x + 1 \leq 0 $$ Умножим обе части на $-1$ (не забывая развернуть знак неравенства): $$ 6x^2 + 5x- 1 \geq 0 $$

Решим квадратное неравенство. Корни уравнения $6x^2 + 5x- 1 = 0$: $$ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{12} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{12} = \frac{-5 \pm 7}{12} $$ Таким образом:
$$ x_1 = \frac{-5 + 7}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}, \quad x_2 = \frac{-5- 7}{12} = \frac{-12}{12} = -1 $$
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство $6x^2 + 5x- 1 \geq 0$ выполняется при:
$$ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq \frac{1}{6} $$ Учитывая область определения $0 < x < \frac{1}{2},$ получаем:
$$ \frac{1}{6} \leq x < \frac{1}{2} $$
Проверим границу $x = \frac{1}{6}$:

$1- 2x = 1- \frac{2}{6} = \frac{2}{3} > 0,$
$\frac{1}{x}- 2 = 6- 2 = 4 > 0,$
$4x^2 + 6x- 1 = 4 \cdot \frac{1}{36} + 6 \cdot \frac{1}{6}- 1 = \frac{1}{9} + 1- 1 = \frac{1}{9} > 0.$

Все условия выполнены, поэтому $x = \frac{1}{6}$ входит в решение.

Ответ: $$ \Big[ \frac{1}{6};\ \frac{1}{2} \Big) $$