16. Неравенства: #211081

Воспользуемся свойствами логарифмов. Перенесем все слагаемые в одну сторону: $$ \log_7 (2x^2 + 12)- \log_7 (x^2- x + 12)- \log_7 \left( 2- \frac{1}{x} \right) \geq 0 $$
Объединим логарифмы: $$ \log_7 \left( \frac{2x^2 + 12}{x^2- x + 12} \right) \geq \log_7 \left( 2- \frac{1}{x} \right) $$
Так как логарифмическая функция с основанием $7 > 1$ является возрастающей, неравенство эквивалентно:
$$ \frac{2x^2 + 12}{x^2- x + 12} \geq 2- \frac{1}{x} $$
Кроме того, необходимо учесть область определения всех логарифмов:

$1.$ $2x^2 + 12 > 0$ — выполняется для всех $x,$ так как $2x^2 \geq 0$ и $12 > 0.$
$2.$ $x^2- x + 12 > 0.$ Дискриминант: $D = 1- 48 = -47 < 0,$ поэтому выражение всегда положительно. $3.$ $2- \frac{1}{x} > 0.$
$4.$ Аргументы логарифмов должны быть положительными, поэтому также $x \neq 0.$

Решим условие $3$:
$$ 2- \frac{1}{x} > 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{2x- 1}{x} > 0 $$ Это неравенство выполняется при:
$$ x < 0 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2} $$
Таким образом, область определения:
$$ x < 0 \quad \text{или} \quad x > \frac{1}{2} $$
Теперь решим неравенство:
$$ \frac{2x^2 + 12}{x^2- x + 12} \geq 2- \frac{1}{x} $$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$$ \frac{2x^2 + 12}{x^2- x + 12}- 2 + \frac{1}{x} \geq 0 $$
Приведем к общему знаменателю. Общий знаменатель: $x(x^2- x + 12).$
$$ \frac{(2x^2 + 12)x}{x(x^2- x + 12)} — \frac{2x(x^2- x + 12)}{x(x^2- x + 12)} + \frac{x^2- x + 12}{x(x^2- x + 12)} \geq 0, $$
$$ \frac{2x^3 + 12x- 2x(x^2- x + 12) + (x^2- x + 12)}{x(x^2- x + 12)} \geq 0 $$

Раскроем скобки:
$$ 2x(x^2- x + 12) = 2x^3- 2x^2 + 24x $$ Тогда числитель:
$$ 2x^3 + 12x- (2x^3- 2x^2 + 24x) + x^2- x + 12 = 2x^3 + 12x- 2x^3 + 2x^2- 24x + x^2- x + 12 $$ $$ = (2x^3- 2x^3) + (2x^2 + x^2) + (12x- 24x- x) + 12 = 3x^2- 13x + 12 $$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$$ \frac{3x^2- 13x + 12}{x(x^2- x + 12)} \geq 0. $$
Разложим числитель на множители:
$$ 3x^2- 13x + 12 = 0, \quad D = 169- 144 = 25, \quad x = \frac{13 \pm 5}{6} $$ $$ x_1 = \frac{18}{6} = 3, \quad x_2 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$ Поэтому:
$$ 3x^2- 13x + 12 = (x- 3)(3x- 4) $$
Знаменатель: $x(x^2- x + 12).$ Заметим, что $x^2- x + 12 > 0$ при всех $x,$ так как дискриминант отрицательный. Поэтому знак дроби определяется выражениями $x,$ $(x- 3)$ и $(3x- 4).$

Таким образом, неравенство: $$ \frac{(x- 3)(3x- 4)}{x(x^2- x + 12)} \geq 0 $$

Поскольку $x^2- x + 12 > 0$ всегда, можно упростить:
$$ \frac{(x- 3)(3x- 4)}{x} \geq 0 $$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x = 0,$ $x = \frac{4}{3},$ $x = 3.$

Расставим знаки на интервалах:

При $x < 0$: отрицательно, при $0 < x < \frac{4}{3}$: положительно, при $\frac{4}{3} < x < 3$: отрицательно, при $x > 3$: положительно.

Нас интересует $\geq 0,$ поэтому:
$$ x < 0 \quad \text{или} \quad 0 < x \leq \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x \geq 3 $$ Теперь учтем область определения: $x < 0$ или $x > \frac{1}{2}.$ Таким образом, из решений неравенства подходят:

$1. $ $x < 0,$
$2. $ $\frac{1}{2} < x \leq \frac{4}{3},$
$3. $ $x \geq 3.$

Проверим границы:

При $x < 0$: условие $2- \frac{1}{x} > 0$ выполняется, но числитель дроби отрицателен, а знаменатель положителен, поэтому дробь отрицательна. Таким образом, $x < 0$ не подходит.
При $x = \frac{4}{3}$: неравенство обращается в равенство.
При $x = 3$: неравенство обращается в равенство.

Итак, окончательное решение:
$$ \frac{1}{2} < x \leq \frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x \geq 3. $$

Ответ: $$ \Big( \frac{1}{2};\ \frac{4}{3} \Big] \cup [3;\ +\infty) $$