Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194909
Решите неравенство: $$\dfrac{\log_2(x^2)-\log_3(x^2)}{\log_6^2(2x^2-10x+12.5)+1}\geq0$$
1. Область определения:
- $x^2>0$ ⇒ $x\neq0$
- $2x^2-10x+12.5>0$ ⇒ $(x-2.5)^2>0$ ⇒ $x\neq2.5$
2. Анализ знаменателя:
$\log_6^2(2x^2-10x+12.5)+1>0$ для всех допустимых $x$, так как:
- $\log_6^2(…)\geq0$
- $+1$ делает выражение строго положительным
3. Решение неравенства:
Достаточно рассмотреть числитель:
$$\log_2(x^2)-\log_3(x^2)\geq0$$
Преобразуем:
$$\dfrac{\ln(x^2)}{\ln2}-\dfrac{\ln(x^2)}{\ln3}\geq0$$
$$\ln(x^2)\left(\dfrac{1}{\ln2}-\dfrac{1}{\ln3}\right)\geq0$$
Так как $\ln3>\ln2>0$, то $\dfrac{1}{\ln2}-\dfrac{1}{\ln3}>0$, следовательно:
$$\ln(x^2)\geq0$$
$$x^2\geq1$$
Решение: $x\leq-1$ или $x\geq1$
4. Учет области определения:
Исключаем $x=0$ и $x=2.5$
Ответ:
$$(-\infty;-1]\cup[1;2.5)\cup(2.5;+\infty)$$
20
