Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194911
Решите неравенство:$$\dfrac{\log_3(3-x)-\log_3(x+2)}{\log_3^2(x^2)+\log_3(x^4)+1}\geq0$$
1. Область определения:
- $3-x>0$ ⇒ $x<3$
- $x+2>0$ ⇒ $x>-2$
- $x^2>0$ ⇒ $x\neq0$
Итого: $-2<x<3$, $x\neq0$
2. Анализ знаменателя:
Преобразуем знаменатель:
$$\log_3^2(x^2)+4\log_3|x|+1=(\log_3(x^2)+1)^2$$
Знаменатель всегда положителен при $x\neq0$, так как это квадрат выражения.
3. Решение неравенства:
Достаточно рассмотреть числитель:
$$\log_3(3-x)\geq\log_3(x+2)$$
Так как основание логарифма $3>1$, то:
$$3-x\geq x+2$$
$$1\geq2x$$
$$x\leq0.5$$
4. Учет области определения:
Объединяя с ОДЗ:
$$-2<x<0$$
или
$$0<x\leq0.5$$
Ответ:
$$(-2;0)\cup(0;0.5]$$
20
