16. Неравенства: #194914

1. Область определения:

• $x>0$
• $\log_2^2x+6\log_2x\neq0$ ⇒ $x\neq2^{-6}=\dfrac{1}{64}$ и $x\neq1$

2. Замена переменной:
Пусть $t=\log_2x$, тогда неравенство принимает вид:
$$\dfrac{45}{(t^2+6t)^2}+\dfrac{14}{t^2+6t}+1\geq0$$

3. Преобразование неравенства:
Обозначим $y=t^2+6t$, тогда:
$$\dfrac{45}{y^2}+\dfrac{14}{y}+1\geq0$$
Умножаем на $y^2$ (учитывая знак $y$):
$$45+14y+y^2\geq0$$
$$(y+5)(y+9)\geq0$$
Решение: $y\leq-9$ или $y\geq-5$

4. Возвращаемся к переменной $t$:
a) Случай $t^2+6t\leq-9$:
$$t^2+6t+9\leq0$$
$$(t+3)^2\leq0$$
Решение: $t=-3$ b) Случай $t^2+6t\geq-5$:
$$t^2+6t+5\geq0$$
$$(t+1)(t+5)\geq0$$
Решение: $t\leq-5$ или $t\geq-1$

5. Объединение решений:

• $t=-3$
• $t\leq-6$
• $-6<t\leq-5$
• $t\geq-1$

6. Обратная замена:

• $\log_2x=-3$ ⇒ $x=\dfrac{1}{8}$
• $\log_2x\leq-6$ ⇒ $0<x\leq\dfrac{1}{64}$
• $-6<\log_2x\leq-5$ ⇒ $\dfrac{1}{64}<x\leq\dfrac{1}{32}$
• $\log_2x\geq-1$ ⇒ $x\geq\dfrac{1}{2}$

7. Учет области определения:
Исключаем $x=\dfrac{1}{64}$ и $x=1$

Ответ:
$$\left(0;\dfrac{1}{64}\right)\cup\left(\dfrac{1}{64};\dfrac{1}{32}\right]\cup\{\dfrac{1}{8}\}\cup\left[\dfrac{1}{2};1\right)\cup(1;+\infty)$$