16. Неравенства: #194920

1. Область определения:

• $x>0$
• $x\neq1$ (так как $\log_x2$ не определен при $x=1$)
• $\log_2x\neq0$ ⇒ $x\neq1$

2. Преобразование выражения:
Используем свойство $\log_x2=\dfrac{1}{\log_2x}$
Пусть $t=\log_2x$, тогда неравенство принимает вид:
$$t+\dfrac{2}{t}\geq\dfrac{3}{t^3}$$

3. Решение неравенства:
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t^4+2t^2-3}{t^3}\geq0$$
Разложим числитель:
$$(t^2-1)(t^2+3)\geq0$$
Учитывая, что $t^2+3>0$ всегда, получаем:
$$\dfrac{(t-1)(t+1)}{t}\geq0$$ Метод интервалов дает решения:

• $t\geq1$
• $-1\leq t<0$

4. Обратная замена:

• Для $t\geq1$: $\log_2x\geq1$ ⇒ $x\geq2$
• Для $-1\leq t<0$: $-1\leq\log_2x<0$ ⇒ $\dfrac{1}{2}\leq x<1$

5. Учет области определения:
Исключаем $x=1$

Ответ:
$$\left[\dfrac{1}{2};1\right)\cup[2;+\infty)$$