Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194921
Решите неравенство:$$\dfrac{\log_2(32x)-1}{\log_2^2x-\log_2x^5}\geq-1$$
1. Область определения:
- $x>0$
- $\log_2^2x-5\log_2x\neq0$ ⇒ $x\neq1$ и $x\neq32$
2. Упрощение выражения:
- $\log_2(32x)=5+\log_2x$
- $\log_2x^5=5\log_2x$
Неравенство принимает вид:
$$\dfrac{4+\log_2x}{\log_2^2x-5\log_2x}\geq-1$$
3. Замена переменной:
Пусть $t=\log_2x$, тогда:
$$\dfrac{4+t}{t^2-5t}\geq-1$$
4. Решение неравенства:
Переносим все в левую часть:
$$\dfrac{t^2-4t+4}{t^2-5t}\geq0$$
$$\dfrac{(t-2)^2}{t(t-5)}\geq0$$ Метод интервалов дает решения:
- $t<0$
- $t=2$
- $t>5$
5. Обратная замена:
- $\log_2x<0$ ⇒ $0<x<1$
- $\log_2x=2$ ⇒ $x=4$
- $\log_2x>5$ ⇒ $x>32$
6. Учет области определения:
Исключаем $x=1$ и $x=32$
Ответ:
$$(0;1)\cup{4}\cup(32;+\infty)$$
20
