16. Неравенства: #194923

1. Область определения:

• $x>0$
• $\log_3x+4\neq0$ ⇒ $x\neq3^{-4}=\dfrac{1}{81}$
• $\log_3(3x)\neq0$ ⇒ $x\neq\dfrac{1}{3}$

2. Преобразование выражения:
Упростим слагаемые:

• $\log_3(3x)=1+\log_3x$
  Введем замену $t=\log_3x+1$, тогда:
  $$\dfrac{1}{t+3}+\dfrac{2}{t}\cdot\left(\dfrac{2}{t+3}-1\right)\leq0$$

3. Решение неравенства:
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t-2t-2}{t(t+3)}\leq0$$
$$\dfrac{-t-2}{t(t+3)}\leq0$$
$$\dfrac{t+2}{t(t+3)}\geq0$$ Метод интервалов дает решения:

• $-3<t\leq-2$
• $t>0$

4. Обратная замена:

• Для $-3<t\leq-2$:
  $-3<\log_3x+1\leq-2$ ⇒ $-4<\log_3x\leq-3$ ⇒ $\dfrac{1}{81}<x\leq\dfrac{1}{27}$
• Для $t>0$:
  $\log_3x+1>0$ ⇒ $\log_3x>-1$ ⇒ $x>\dfrac{1}{3}$

5. Учет области определения:
Исключаем $x=\dfrac{1}{81}$ и $x=\dfrac{1}{3}$.

Ответ:
$$\left(\dfrac{1}{81},\dfrac{1}{27}\right]\cup\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)$$