Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194889
Решите неравенство:
$$\dfrac{\log_3x}{\log_3\dfrac{x}{27}}\geq\dfrac{2}{\log_3x}+\dfrac{5}{\log_3^2x-\log_3x^3}$$
1. Область определения:
- $x>0$
- $\log_3\dfrac{x}{27}\neq0$ ⇒ $x\neq81$
- $\log_3x\neq0$ ⇒ $x\neq1$
- $\log_3^2x-\log_3x^3\neq0$ ⇒ $t^2-3t\neq0$ ⇒ $t\neq0,3$ ⇒ $x\neq1,27$
2. Замена переменной:
Пусть $t=\log_3x$, тогда:
$$\dfrac{t}{t-3}\geq\dfrac{2}{t}+\dfrac{5}{t^2-3t}$$
3. Преобразование неравенства:
Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{t^2-2(t-3)-5}{t(t-3)}\geq0$$
$$\dfrac{t^2-2t+1}{t(t-3)}\geq0$$
$$\dfrac{(t-1)^2}{t(t-3)}\geq0$$
4. Решение неравенства:
Метод интервалов дает:
- $t<0$
- $t=1$
- $t>3$
5. Обратная замена:
- $\log_3x<0$ ⇒ $0<x<1$
- $\log_3x=1$ ⇒ $x=3$
- $\log_3x>3$ ⇒ $x>27$
6. Исключение точек разрыва:
Учитывая ОДЗ, исключаем $x=1,27,81$
Ответ:
$$(0;1)\cup{3}\cup(27;+\infty)$$
20
