16. Неравенства: #194883

1. Область определения:

• $x-1>0$ ⇒ $x>1$
• $x-1\neq1$ ⇒ $x\neq2$
• $x+2>0$ ⇒ $x>-2$
• $x^2-2x+1>0$ ⇒ $(x-1)^2>0$ ⇒ $x\neq1$
• $10-x>0$ ⇒ $x<10$
  Итого: $1<x<10$, $x\neq2$

2. Преобразование неравенства:
a) Упростим выражения:

• $\log_{x-1}\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{2}\log_{x-1}(x+2)$
• $\log_3(x^2-2x+1)=2\log_3|x-1|=2\log_3(x-1)$ (при $x>1$)
• $\log_9(10-x)=\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$

b) Подставим в неравенство:
$$\dfrac{1}{2}\log_{x-1}(x+2)\cdot2\log_3(x-1)\geq\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$$
$$\log_{x-1}(x+2)\cdot\log_3(x-1)\geq\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$$

3. Дальнейшие преобразования:
Используем тождество $a^{\log_a b}=b$:
$$(x-1)^{\log_{x-1}(x+2)}=x+2$$
Логарифмируем по основанию $3$:
$$\log_3(x+2)\geq\dfrac{1}{2}\log_3(10-x)$$
$$\log_3(x+2)^2\geq\log_3(10-x)$$

4. Решение неравенства:
$$(x+2)^2\geq10-x$$
$$x^2+5x-6\geq0$$
Корни: $x=-6$, $x=1$
Решение: $x\leq-6$ или $x\geq1$. С учетом ОДЗ: $1<x<2$ или $2<x<10$

Ответ:
$$(1;2)\cup(2;10)$$