16. Неравенства: #194872

1. Область определения:

• $4-x>0$ ⇒ $x<4$
• $x^2-8x+16=(x-4)^2>0$ ⇒ $x\neq4$
  Итого: $x<4$

2. Преобразование неравенства:
а) Упростим логарифмы:

• $\log_{243}(4-x)=\dfrac{1}{5}\log_3(4-x)$
• $\log_3(x^2-8x+16)=2\log_3(4-x)$ б) Подставим в неравенство:
  $$\dfrac{x^2}{5}\log_3(4-x)\leq2\log_3(4-x)$$
  $$(x^2-10)\log_3(4-x)\leq0$$

3. Анализ неравенства:
Разложим на множители:
$$(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})\log_3(4-x)\leq0$$ Критические точки:

• $x=-\sqrt{10}\approx-3.162$
• $x=3$ (где $\log_3(4-x)=0$)
• $x=\sqrt{10}\approx3.162$

4. Метод интервалов:
На числовой прямой ($x<4$) отмечаем критические точки и определяем знаки:

• При $x<-\sqrt{10}$: $+$
• При $-\sqrt{10}<x<3$: $-$
• При $3<x<\sqrt{10}$: $+$
• При $\sqrt{10}<x<4$: $-$

5. Решение неравенства:

$$-\sqrt{10}\leq x\leq3$$
или
$$\sqrt{10}\leq x<4$$

Ответ:
$$[-\sqrt{10};3]\cup[\sqrt{10};4)$$