Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
16. Неравенства: #194870
Решите неравенство:
$$(\log_{0.25}^2(x+3)-\log_4(x^2+6x+9)+1)\cdot\log_4(x+2)\leq0$$
1. Область определения:
- $x+3>0$ ⇒ $x>-3$
- $x^2+6x+9=(x+3)^2>0$ ⇒ $x\neq-3$
- $x+2>0$ ⇒ $x>-2$
Итого: $x>-2$
2. Преобразование неравенства:
а) Упростим логарифмы:
- $\log_{0.25}(x+3)=-\log_4(x+3)$
- $\log_4(x^2+6x+9)=2\log_4|x+3|=2\log_4(x+3)$ (так как $x>-2$). б) Подставим в неравенство:
$$(\log_4^2(x+3)-2\log_4(x+3)+1)\cdot\log_4(x+2)\leq0$$
$$(\log_4(x+3)-1)^2\cdot\log_4(x+2)\leq0$$
3. Анализ неравенства:
- $(\log_4(x+3)-1)^2\geq0$ всегда
- $\log_4(x+2)\leq0$ ⇒ $0<x+2\leq1$ ⇒ $-2<x\leq-1$
- При $x=1$: $\log_4(4)-1=0$ ⇒ неравенство выполняется
4. Решение:
Объединяя условия:
$$x\in(-2;-1]\cup{1}$$
Ответ:
$$(-2;-1]\cup{1}$$
20
