16. Неравенства: #194868

1. Область определения:

• $2x^2+1>0$ (выполнено для всех $x\in\mathbb{R}$)
• $\dfrac{1}{32x}+1>0 \Rightarrow \dfrac{1+32x}{32x}>0$
• $\dfrac{x}{16}+1>0 \Rightarrow x>-16$. Решаем $\dfrac{1+32x}{32x}>0$:
• При $x>0$: $1+32x>0$ ⇒ $x>0$
• При $x<0$: $1+32x<0$ ⇒ $x<-\dfrac{1}{32}$. Объединяя с $x>-16$, получаем:
  $$x\in\left(-16;-\dfrac{1}{32}\right)\cup(0;+\infty)$$

1. Преобразование неравенства:
   $$\log_{11}\left((2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\right)\geq\log_{11}\left(\dfrac{x}{16}+1\right)$$
   Так как основание логарифма $11>1$, получаем:
   $$(2x^2+1)\left(\dfrac{1}{32x}+1\right)\geq\dfrac{x}{16}+1$$
2. Упрощение:
   Раскрываем скобки:
   $$\dfrac{2x^2+1}{32x}+2x^2+1\geq\dfrac{x}{16}+1$$
   Умножаем на $32x$ (учитывая знак $x$):

• При $x>0$:
  $$2x^2+1+64x^3+32x\geq2x^2+32x$$
  $$64x^3+1\geq0$$
  Решение: $x\geq-\dfrac{1}{4}$ (но $x>0$ по ОДЗ) ⇒ $x>0$
• При $x<0$:
  $$2x^2+1+64x^3+32x\leq2x^2+32x$$
  $$64x^3+1\leq0$$
  Решение: $x\leq-\dfrac{1}{4}$
  Учитывая ОДЗ $\left(-16;-\dfrac{1}{32}\right)$, получаем:
  $$-16<x\leq-\dfrac{1}{4}$$

1. Объединение решений:
   $$x\in\left(-16;-\dfrac{1}{4}\right]\cup(0;+\infty)$$

Ответ:
$$\left(-16;-\dfrac{1}{4}\right]\cup(0;+\infty)$$