20. Текстовые задачи: Задачи на движение по прямой

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $v + 16$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $1$. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

$$\dfrac{0.5}{24} + \dfrac{0.5}{v + 16} = \dfrac{1}{v}$$Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{0.5(v + 16) + 0.5 \cdot 24}{24(v + 16)} = \dfrac{1}{v}$$Упростим числитель:
$$0.5v + 8 + 12 = 0.5v + 20$$Тогда уравнение примет вид:
$$\dfrac{0.5v + 20}{24(v + 16)} = \dfrac{1}{v}$$Перемножим крест-накрест:
$$v(0.5v + 20) = 24(v + 16)$$Раскроем скобки:
$$0.5v^2 + 20v = 24v + 384$$Перенесем все в одну сторону:
$$0.5v^2-4v-384 = 0$$Умножим на $2,$ чтобы избавиться от дроби:
$$v^2-8v-768 = 0$$Решим квадратное уравнение:
$$v = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 + 3072}}{2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{3136}}{2} = \dfrac{8 \pm 56}{2}$$Получаем корни:
$$v_1 = \dfrac{64}{2} = 32$$ $$ v_2 = \dfrac{-48}{2} = -24$$Отрицательный корень не имеет физического смысла.

Ответ: cкорость первого автомобиля равна $32$ км/ч.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $(v-13)$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $2S.$

Время в пути для первого автомобиля: $$t_1 = \frac{2S}{v}$$Время в пути для второго автомобиля: $$t_2 = \frac{S}{v-13} + \frac{S}{78}$$По условию задачи $t_1 = t_2,$ следовательно: $$\frac{2S}{v} = \frac{S}{v-13} + \frac{S}{78}$$Сокращаем на $S$: $$\frac{2}{v} = \frac{1}{v-13} + \frac{1}{78}$$Приводим к общему знаменателю: $$\frac{2}{v} = \frac{78 + (v-13)}{78(v-13)} = \frac{v + 65}{78(v-13)}$$Перемножаем крест-накрест: $$2 \cdot 78(v-13) = v(v + 65)$$ $$156v-2\space028 = v^2 + 65v$$ $$v^2-91v + 2\space028 = 0$$ $$v = \frac{91 \pm \sqrt{91^2-4 \cdot 2\space028}}{2}$$ $$v= \frac{91 \pm \sqrt{8\space281-8\space112}}{2}$$ $$ v=\frac{91 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{91 \pm 13}{2}$$ $$v_1 = \frac{104}{2} = 52$$ $$ \quad v_2 = \frac{78}{2} = 39$$ Так как по условию $v > 48$, то $v = 52$.
Ответ: скорость первого автомобиля $52$ км/ч

$1.$ Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста
$2.$ Тогда скорость автомобилиста: $(v + 40)$ км/ч
$3.$ Время в пути велосипедиста: $\dfrac{75}{v}$ часов
$4.$ Время в пути автомобилиста: $\dfrac{75}{v+40}$ часов
$5.$ По условию: $\dfrac{75}{v}-\dfrac{75}{v+40} = 6$

Решаем уравнение:

$$\frac{75}{v}-\frac{75}{v+40} = 6$$ $$\frac{75(v+40)-75v}{v(v+40)} = 6$$ $$\frac{75v + 3\space000-75v}{v(v+40)} = 6$$ $$\frac{3\space000}{v(v+40)} = 6$$ $$3\space000 = 6v(v+40)$$ $$500 = v(v+40)$$ $$v^2 + 40v-500 = 0$$
Решаем квадратное уравнение:

$$v = \dfrac{-40 \pm \sqrt{1\space600 + 2\space000}}{2}$$ $$v = \frac{-40 \pm \sqrt{3\space600}}{2} = \dfrac{-40 \pm 60}{2}$$ $$v_1 = 10$$ $$ v_2 = -50$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10.$ Ответ: скорость велосипедиста равна $10\ км/ч.$

$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\dfrac{70}{v-3}.$

$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\dfrac{70}{v} + 3.$

$3.$ По условию: $\dfrac{70}{v-3} = \dfrac{70}{v} + 3.$

Решаем уравнение: $$\dfrac{70}{v-3} = \dfrac{70}{v} + 3$$ $$\dfrac{70}{v-3} = \dfrac{70 + 3v}{v}$$ $$70v = 70(v-3) + 3v(v-3)$$ $$70v = 70v-210 + 3v^2 — 9v$$ $$3v^2-9v-210 = 0$$ $$v^2-3v-70 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{3 \pm 17}{2}$$ $$v_1 = 10$$ $$\quad v_2 = -7$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10.$
Ответ: скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ равна $10\ км/ч.$

$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\dfrac{98}{v}.$

$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\dfrac{98}{v+7} + 7.$

$3.$ По условию: $\frac{98}{v} = \dfrac{98}{v+7} + 7.$

Решаем уравнение:
$$\frac{98}{v} = \frac{98}{v+7} + 7$$ $$\frac{98}{v} = \frac{98 + 7(v+7)}{v+7}$$ $$\frac{98}{v} = \frac{98 + 7v + 49}{v+7}$$ $$\frac{98}{v} = \frac{147 + 7v}{v+7}$$ $$98(v+7) = v(147 + 7v)$$ $$98v + 686 = 147v + 7v^2$$ $$7v^2 + 49v-686 = 0$$ $$v^2 + 7v — 98 = 0$$
Решаем квадратное уравнение:

$$v = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 392}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-7 \pm 21}{2}$$ $$v_1 = 7$$ $$ v_2 = -14$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 7.$

Ответ: скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $7\ км/ч.$

$1.$ Время первого велосипедиста: $\dfrac{240}{v+1}.$

$2.$ Время второго велосипедиста: $\dfrac{240}{v}.$

$3.$ По условию: $\dfrac{240}{v}-\dfrac{240}{v+1} = 1.$

Решаем уравнение: $$\frac{240}{v}-\frac{240}{v+1} = 1$$ $$\frac{240(v+1)-240v}{v(v+1)} = 1$$ $$\frac{240v + 240-240v}{v(v+1)} = 1$$ $$\frac{240}{v(v+1)} = 1$$ $$240 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-240 = 0$$Решаем квадратное уравнение:$$v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 960}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 \pm 31}{2}$$ $$v_1 = 15$$ $$v_2 = -16$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 15.$
Скорость первого велосипедиста: $v + 1 = 15 + 1 = 16.$

Ответ: скорость первого велосипедиста равна $16\ км/ч.$

$1.$ За первый час первый автомобиль проехал: $$60 \cdot 1 = 60\ км$$ $2.$ Оставшееся расстояние: $$435-60 = 375\ км$$ $3.$ Скорость сближения автомобилей: $$60 + 65 = 125\ км/ч$$ $4.$ Время до встречи после выезда второго автомобиля: $$\frac{375}{125} = 3\ ч$$ $5.$ Общее время движения первого автомобиля: $$1 + 3 = 4\ ч$$ $6.$ Расстояние от города A до места встречи: $$60 \cdot 4 = 240\ км$$ Ответ: автомобили встретятся на расстоянии $240\ км$ от города $A.$

$1.$ Расстояние, пройденное вторым автомобилем до встречи:
$$470-350 = 120\ км$$ $2.$ Время движения второго автомобиля: $$t_2 = \frac{120}{60} = 2\ ч$$ $3.$ Время движения первого автомобиля: $$t_1 = t_2 + 3 = 2 + 3 = 5\ ч$$ $4.$ Скорость первого автомобиля: $$v_1 = \frac{350}{5} = 70\ км/ч$$ Ответ: скорость первого автомобиля равна $70\ км/ч.$

$1.$ Пусть $x$ — время велосипедиста из $B$ в $A.$

$2.$ Тогда время мотоциклиста: $x-3.$

$3.$ Скорость велосипедиста: $\dfrac{1}{x}.$

$4.$ Скорость мотоциклиста: $\dfrac{1}{x-3}.$
$5.$ Путь велосипедиста до встречи: $$\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{5x}$$ $6.$ Путь мотоциклиста до встречи: $$\dfrac{1}{x-3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{5(x-3)}$$ $7.$ Сумма путей до встречи равна $1$: $$\dfrac{4}{5x} + \dfrac{4}{5(x-3)} = 1$$ $8.$ Умножаем на $5x(x-3)$: $$4(x-3) + 4x = 5x(x-3)$$ $9.$ Раскрываем скобки: $$4x-12 + 4x = 5x^2-15x$$ $10.$ Приводим к стандартному виду:$$5x^2-23x + 12 = 0$$ $11.$ Решаем квадратное уравнение:
$$D = 23^2-4 \cdot 5 \cdot 12 = 529-240 = 289$$ $$x_1 = \frac{23-17}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ — не подходит;$$x_2 = \frac{23 + 17}{10} = \frac{40}{10} = 4$$ Ответ: велосипедист затратил $4$ часа на путь из пункта $B$ в пункт $A.$

$1.$ За $1$ минуту товарный поезд проезжает на $0,75\ км$ меньше.

$2.$ За $1$ час $(60$ минут$)$ товарный поезд проезжает меньше на: $$0,75 \cdot 60 = 45\ км$$ $3.$ Пусть $v_t$ — скорость товарного поезда.

$4.$ Тогда скорость скорого поезда: $v_t + 45\ км/ч.$

$5.$ Время товарного поезда: $t_t = \dfrac{180}{v_t}.$

$6.$ Время скорого поезда: $t_s = \dfrac{180}{v_t + 45}.$

$7.$ По условию: $t_t-t_s = 2.$

$8.$ Составляем уравнение:
$$\frac{180}{v_t}-\frac{180}{v_t + 45} = 2$$ $9.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{180(v_t + 45)-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$$10.$ Упрощаем числитель: $$\frac{180v_t + 8\space100-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $11.$ Получаем: $$\frac{8\space100}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $12.$ Умножаем обе части на знаменатель: $$8\space100 = 2v_t(v_t + 45)$$ $13.$ Раскрываем скобки: $$8\space100 = 2v_t^2 + 90v_t$$ $14.$ Делим на 2: $$4\space050 = v_t^2 + 45v_t$$ $15.$ Приводим к стандартному виду: $$v_t^2 + 45v_t-4\space050 = 0$$ $16.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 45^2 + 4 \cdot 4\space050 = 2\space025 + 16\space200 = 18\space225$$ $$v_t = \frac{-45 + \sqrt{18\space225}}{2} = \frac{-45 + 135}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ Ответ: скорость товарного поезда равна $45\ км/ч.$

$1.$ Переведем разницу скоростей в метры в минуту: $$1,5\ км/ч = 1500\ м/ч$$ $$1500\ м/ч : 60\ мин = 25\ м/мин$$ $2.$ Используем формулу для нахождения времени: $$t = \frac{S}{V}$$ $3.$ Подставляем значения:
$$t = \frac{300\ м}{25\ м/мин} = 12\ мин$$ Ответ: расстояние между пешеходами станет равным $300\ м$ через $12$ минут.

$1.$ Пусть $x$ — скорость третьего велосипедиста.

$2.$ Третий выехал через $2\ ч$ после первого.

$3.$ За эти $2\ ч$ первый проехал: $15 \cdot 2 = 30\ км.$

$4.$ Второй выехал через $1\ ч$ после первого, значит проехал: $10 \cdot 1 = 10\ км.$

$5.$ Третий догоняет второго:
$\dfrac{10}{x-10}$ — время до встречи с вторым.

$6.$ Третий догоняет первого:
$\dfrac{30}{x-15}$ — время до встречи с первым.

$7.$ По условию:
$$\frac{30}{x-15} = \frac{10}{x-10} + \frac{7}{3}$$ $8.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{30(x-10)-10(x-15)}{(x-15)(x-10)} = \frac{7}{3}$$ $9.$ Упрощаем числитель: $$\frac{30x-300-10x + 150}{(x-15)(x-10)} = \frac{7}{3}$$ $10.$ Получаем: $$\frac{20x-150}{(x-15)(x-10)} = \frac{7}{3}$$ $11.$ Умножаем обе части на $3(x-15)(x-10){:}$ $$60x-450 = 7(x^2-25x + 150)$$ $12.$ Раскрываем скобки: $$60x-450 = 7x^2-175x + 1\space050$$ $13.$ Приводим к стандартному виду: $$7x^2-235x + 1\space500 = 0$$ $14.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 235^2-4 \cdot 7 \cdot 1\space500 = 55\space225-42\space000 = 13\space225$$ $$x_1 = \frac{235-\sqrt{13\space225}}{14} = \frac{235-115}{14} = \frac{120}{14} = \frac{60}{7}$$ $x_1$ — не подходит;$$x_2 = \frac{235 + \sqrt{13\space225}}{14} = \frac{235 + 115}{14} = \frac{350}{14} = 25$$Ответ: скорость третьего велосипедиста равна $25\ км/ч.$

$1.$ Пусть половина времени равна $x$ часов.
$2.$ Тогда все время: $2x$ часов.
$3.$ За первую половину времени автомобиль проехал: $$S_1 = 74x\ км$$ $4.$ За вторую половину времени автомобиль проехал:$$S_2 = 66x\ км$$ $5.$ Общий путь:$$S = S_1 + S_2 = 74x + 66x = 140x\ км$$ $6.$ Средняя скорость находится по формуле: $$v_{ср} = \frac{S}{t}$$ $7.$ Подставляем значения: $$v_{ср} = \frac{140x}{2x} = \frac{140}{2} = 70\ км/ч$$Ответ: средняя скорость автомобиля равна $70\ км/ч.$

$1.$ Пусть весь путь равен $x$ $км.$

$2.$ Каждый участок пути равен $\dfrac{x}{3}$ $км.$

$3.$ Время на первом участке: $t_1 = \dfrac{x/3}{60} = \dfrac{x}{180}$ $часов.$

$4.$ Время на втором участке: $t_2 = \dfrac{x/3}{120} = \dfrac{x}{360}$ $часов.$

$5.$ Время на третьем участке: $t_3 = \dfrac{x/3}{110} = \dfrac{x}{330}$ $часов.$

$6.$ Средняя скорость находится по формуле:
$$v_{ср} = \dfrac{S}{t} = \frac{3}{\frac{1}{60} + \frac{1}{120} + \frac{1}{110}}$$ $7.$ Приводим к общему знаменателю: $$v_{ср} = \frac{3 \cdot 120 \cdot 11}{22 + 11 + 12} = \frac{3\space960}{45} = 88\ км/ч$$
Ответ: средняя скорость автомобиля равна $88\ км/ч.$

$1.$ Находим путь на каждом участке:
$$S_1 = 50 \cdot 2 = 100\ км$$ $$S_2 = 100 \cdot 1 = 100\ км$$ $$S_3 = 75 \cdot 2 = 150\ км$$ $2.$ Общий путь:
$$S = S_1 + S_2 + S_3 = 100 + 100 + 150 = 350\ км$$ $3.$ Общее время: $$t = 2 + 1 + 2 = 5\ ч$$ $4.$ Средняя скорость находится по формуле: $$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{350}{5} = 70\ км/ч$$ Ответ: средняя скорость автомобиля равна $70\ км/ч.$

$1.$ Находим общее расстояние:
$$S = S_1 + S_2 + S_3 = 190 + 180 + 170 = 540\ км$$ $2.$ Находим время на каждом участке:
$$t_1 = \frac{190}{50} = 3,8\ ч$$ $$t_2 = \frac{180}{90} = 2\ ч$$ $$t_3 = \frac{170}{100} = 1.7\ ч$$
$3.$ Общее время: $$t = t_1 + t_2 + t_3 = 3.8 + 2 + 1.7 = 7.5\ ч$$ $4.$ Средняя скорость находится по формуле:
$$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{540}{7.5} = 72\ км/ч$$ Ответ: средняя скорость автомобиля равна $72\ км/ч.$

$1.$ Переведём скорость из км/ч в м/с:
$$v = 80\ км/ч = \frac{80 \cdot 1\space000}{3\space600}$$ $$v= \frac{80\space000}{3\space600} = \frac{800}{36} = \frac{200}{9}\ м/с$$ $2.$ Длина поезда равна произведению скорости на время: $$L = v \cdot t = \frac{200}{9} \cdot 36 = 200 \cdot 4 = 800\ м$$Ответ: длина поезда составляет $800\ м.$

$1.$ За 1 минуту поезд проходит расстояние, равное $1\spaceкм,$ так как:
$v = 60\ км/ч \Rightarrow$ за $1$ час $(3\space600\spaceс)$ проходит $60\spaceкм$
$\Rightarrow$ за $60$ с проходит $\dfrac{60}{3\space600} \cdot 60 = 1\ км = 1\space000\ м.$

$2.$ За это время поезд проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда: $$S = L_{лес} + L_{поезда}$$ $3.$ По формуле пути:
$$S = v \cdot t = 1\space000\ м$$ $4.$ Находим длину поезда:
$$L_{поезда} = S-L_{лес} = 1\space000-400 = 600\ м$$ Ответ: длина поезда равна $600\ м.$

$1.$ Пусть скорость на спуске равна $x\ км/ч$.
$2.$ Тогда скорость на подъёме равна $(x-3)\ км/ч$.
$3.$ Время на подъёме: $5-1=4\ ч$.
$4.$ Длина спуска: $x \cdot 1 = x\ км$.
$5.$ Длина подъёма: $$(x-3) \cdot 4 = 4(x-3)\ км$$ $6.$ Составляем уравнение: $$x + 4(x-3) = 8$$ $7.$ Решаем уравнение:
$$x + 4x-12 = 8$$ $$5x = 20$$ $$x = 4$$ Ответ: скорость туриста на спуске равна $4\ км/ч.$

$1.$ Найдем время, за которое Алексей доедет до Москвы:
$$t_A = \frac{275}{75} = \frac{11}{3}\ ч = 3\ ч\ 40\ мин$$ $2.$ У Ивана есть остановка $50$ минут, значит на движение у него остается: $$t_И = 3\ ч\ 40\ мин-50\ мин = 2\ ч\ 50\ мин = \frac{17}{6}\ ч$$ $3.$ Иван должен проехать $255$ км за $\dfrac{17}{6}$ часа, значит его скорость должна быть: $$v = \frac{255}{\frac{17}{6}} = 255 \cdot \frac{6}{17} = 90\ км/ч$$ Ответ: Иван должен ехать со скоростью $90\ км/ч.$