20. Текстовые задачи: все задания

$1.$ Найдем число жителей в $2009$ году:
$40\space000 \cdot 1.08 = 43\space200$

$2.$ Найдем число жителей в $2010$ году:
$43\space200 \cdot 1.09 = 47\space088$

Ответ: В $2010$ году в квартале проживало $47\space088$ человек.

$1.$ Пусть начальная стоимость акций равна $100$ единиц.

$2.$ В понедельник акции подорожали на $x$ $\%$, их стоимость стала:
$$100 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right)$$
$3.$ Во вторник акции подешевели на $x\%$, их стоимость стала:
$$100 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1 — \frac{x}{100}\right)$$
$4.$ По условию, конечная стоимость акций на $4\%$ меньше начальной:
$$100 \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) \cdot \left(1-\frac{x}{100}\right) = 100 \cdot 0.96$$
$5.$ Упростим уравнение:
$$\left(1 + \frac{x}{100}\right)\left(1-\frac{x}{100}\right) = 0.96$$ $$1-\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.96$$ $$\left(\frac{x}{100}\right)^2 = 0.04$$ $$\frac{x}{100} = 0.2$$ $$x = 20$$

Ответ: в понедельник акции подорожали на $20\%.$

$1.$ Стоимость четырех рубашек составляет $92\%$ стоимости куртки.

$2.$ Значит, стоимость одной рубашки составляет:
$\dfrac{92\%}{4} = 23\%$ стоимости куртки.

$3.$ Поэтому стоимость пяти рубашек составляет:
$5 \cdot 23\% = 115\%$ стоимости куртки.

$4.$ Это превышает стоимость куртки на:
$115\%-100\% = 15\%.$

Ответ: $15\%.$

$1.$ Пусть общий доход семьи равен $100\%$.

$2.$ Если зарплата мужа увеличится вдвое, общий доход семьи вырастет на $67\%$. Это означает, что зарплата мужа составляет $67\%$ от общего дохода семьи.

$3.$ Если стипендия дочери уменьшится втрое, общий доход семьи сократится на $4\%$. Это значит, что $\dfrac{2}{3}$ стипендии составляют $4\%$ дохода семьи. Следовательно, вся стипендия дочери составляет:
Стипендия дочери = $\dfrac{4\%}{\dfrac{2}{3}} = 6\% \, \text{дохода семьи}.$

$4.$ Теперь найдем долю дохода жены:
Доход жены = $100\%-67\%-6\% = 27\%.$

Ответ: зарплата жены составляет примерно $27\%$ от общего дохода семьи.

Пусть $x\%$ — процент уменьшения цены за год. Тогда каждый год цена составляет $(100-x)\%$ от предыдущей.
2. После первого года цена будет:
$$20\space000 \cdot \dfrac{100-x}{100}$$3. После второго года цена будет:$$20\space000 \cdot \left(\dfrac{100-x}{100}\right)^2 = 15\space842$$ 4. Решаем уравнение:
$$\left(\dfrac{100-x}{100}\right)^2 = \dfrac{15\space842}{20\space000}$$ $$\left(\dfrac{100-x}{100}\right)^2 = 0.7921$$ $$\dfrac{100-x}{100} = \sqrt{0.7921}$$ $$\dfrac{100-x}{100} = 0.89$$ $$100-x = 89$$ $$x = 11$$Ответ: каждый год цена уменьшалась на $11\%.$

$1.$ Рассчитаем доли каждого учредителя в уставном капитале:
Митя: $14\%$ от $200\space000 = 0.14 \cdot 200\space000 = 28\space000$ рублей.
Антон: $42\space000$ рублей (дано).
Гоша: $12\%$ от $200\space000 = 0.12 \cdot 200\space000 = 24\space000$ рублей.
Борис: оставшаяся часть капитала.

$2.$ Найдём долю Бориса:
$200\space000-(28\space000 + 42\space000 + 24\space000) = 106\space000$ рублей.

$3.$ Рассчитаем долю Бориса в процентах:
$\dfrac{106\space000}{200\space000} \cdot 100\% = 53\%.$

$4.$ Найдём сумму прибыли, причитающуюся Борису:
$1\space000\space000 \cdot 0.53 = 530\space000$ рублей.

Ответ: Борису причитается $530\space000$ рублей.

$1.$ Обозначим общую сумму уставного капитала за $x$ рублей.

$2.$ Рассчитаем доли каждого участника:
Дима: $35\%$ от $x = 0.35x$ рублей.
Катя: $60\space000$ рублей.
Петя: $25\%$ от $x = 0.25x$ рублей.
Маша: оставшаяся часть капитала.

$3.$ Составим уравнение для определения общей суммы:
$x = 0.35x + 60\space000 + 0.25x + $ вклад Маши.

$4.$ Найдём вклад Маши:
$x-(0.35x + 60\space000 + 0.25x) = 0.4x-60\space000.$

$5.$ Рассчитаем долю Маши в процентах:
$0.4x-60\space000 = x -0.6x-60\space000;$
$0.4x-60\space000 = 0.4x-60\space000.$

$6.$ Найдём общую сумму капитала:
$0.6x = 60\space000;$
$x = 100\space000$ рублей.

$7.$ Рассчитаем вклад Маши:
$0.4 \cdot 100\space000-60\space000 = 40\space000-60\space000 = 10\space000$ рублей.

$8.$ Найдём долю Маши в процентах:
$\dfrac{10\space000}{100\space000} \cdot 100\% = 10\%.$

$9.$ Рассчитаем прибыль Маши:
$800\space000 \cdot 0.1 = 80\space000$ рублей.

Ответ: Маша получит $80\space000$ рублей.

$1.$ Пусть начальная стоимость акций равна $x.$
$2$. Пусть акции подорожали в четверг на $p\%.$
$3.$ После подорожания в четверг стоимость стала: $$x\cdot(1 + \dfrac{p}{100})$$ $4.$ После падения в пятницу стоимость стала: $$x \cdot (1 + \dfrac{p}{100}) \cdot (1-\dfrac{p}{100})$$ $5.$ По условию, конечная стоимость на $36\%$ меньше начальной: $$x \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1-\frac{p}{100}) = x \cdot 0.64$$ $6.$ Сокращаем $x$: $$(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 — \frac{p}{100}) = 0.64$$ $7.$ Используем формулу разности квадратов: $$1-(\dfrac{p}{100})^2 = 0.64$$ $8.$ Решаем уравнение: $$(\dfrac{p}{100})^2 = 0.36$$ $$\dfrac{p}{100} = 0.6$$ $$p = 60$$
Ответ: акции компании в четверг подорожали на $60\%.$

$1.$ Обозначим:
$a$ — количество жителей в $2020$ году.
$b$ — количество жителей в $2021$году.
$c$ — количество жителей в $2022$ году.

$2.$ Из условия задачи:
в $2021$ году население увеличилось на $6\%.$ Это означает, что $b = a \cdot 1.06;$
в $2022$ году население увеличилось на $7\%.$ Это означает, что $c = b \cdot 1.07.$

$3.$ Подставим значения:
$a = 25\space000;$
$b = 25\space000 \cdot 1.06 = 26\space500;$
$c = 26\space500 \cdot 1.07 = 28\space355.$
Ответ: в $2022$ году в городе проживало $28\space355$ человек.

$1.$ Примем стоимость куртки за $100\%$.

$2.$ Тогда стоимость $10$ рубашек составляет $90\%$ от стоимости куртки.

$3.$ Найдем стоимость одной рубашки: $1$ рубашка = $\dfrac{90\%}{10} = 9\%$ от стоимости куртки.

$4.$ Найдем стоимость $12$ рубашек: $12$ рубашек = $12 \cdot 9\% = 108\%$ от стоимости куртки.

$5.$ Разница в процентах между стоимостью $12$ рубашек и куртки: $108\%-100\% = 8\%.$

Ответ: двенадцать рубашек дороже куртки на $8\%.$

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $v + 16$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $1$. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

$$\dfrac{0.5}{24} + \dfrac{0.5}{v + 16} = \dfrac{1}{v}$$Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{0.5(v + 16) + 0.5 \cdot 24}{24(v + 16)} = \dfrac{1}{v}$$Упростим числитель:
$$0.5v + 8 + 12 = 0.5v + 20$$Тогда уравнение примет вид:
$$\dfrac{0.5v + 20}{24(v + 16)} = \dfrac{1}{v}$$Перемножим крест-накрест:
$$v(0.5v + 20) = 24(v + 16)$$Раскроем скобки:
$$0.5v^2 + 20v = 24v + 384$$Перенесем все в одну сторону:
$$0.5v^2-4v-384 = 0$$Умножим на $2,$ чтобы избавиться от дроби:
$$v^2-8v-768 = 0$$Решим квадратное уравнение:
$$v = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 + 3072}}{2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{3136}}{2} = \dfrac{8 \pm 56}{2}$$Получаем корни:
$$v_1 = \dfrac{64}{2} = 32$$ $$ v_2 = \dfrac{-48}{2} = -24$$Отрицательный корень не имеет физического смысла.

Ответ: cкорость первого автомобиля равна $32$ км/ч.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $(v-13)$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $2S.$

Время в пути для первого автомобиля: $$t_1 = \frac{2S}{v}$$Время в пути для второго автомобиля: $$t_2 = \frac{S}{v-13} + \frac{S}{78}$$По условию задачи $t_1 = t_2,$ следовательно: $$\frac{2S}{v} = \frac{S}{v-13} + \frac{S}{78}$$Сокращаем на $S$: $$\frac{2}{v} = \frac{1}{v-13} + \frac{1}{78}$$Приводим к общему знаменателю: $$\frac{2}{v} = \frac{78 + (v-13)}{78(v-13)} = \frac{v + 65}{78(v-13)}$$Перемножаем крест-накрест: $$2 \cdot 78(v-13) = v(v + 65)$$ $$156v-2\space028 = v^2 + 65v$$ $$v^2-91v + 2\space028 = 0$$ $$v = \frac{91 \pm \sqrt{91^2-4 \cdot 2\space028}}{2}$$ $$v= \frac{91 \pm \sqrt{8\space281-8\space112}}{2}$$ $$ v=\frac{91 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{91 \pm 13}{2}$$ $$v_1 = \frac{104}{2} = 52$$ $$ \quad v_2 = \frac{78}{2} = 39$$ Так как по условию $v > 48$, то $v = 52$.
Ответ: скорость первого автомобиля $52$ км/ч

$1.$ Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста
$2.$ Тогда скорость автомобилиста: $(v + 40)$ км/ч
$3.$ Время в пути велосипедиста: $\dfrac{75}{v}$ часов
$4.$ Время в пути автомобилиста: $\dfrac{75}{v+40}$ часов
$5.$ По условию: $\dfrac{75}{v}-\dfrac{75}{v+40} = 6$

Решаем уравнение:

$$\frac{75}{v}-\frac{75}{v+40} = 6$$ $$\frac{75(v+40)-75v}{v(v+40)} = 6$$ $$\frac{75v + 3\space000-75v}{v(v+40)} = 6$$ $$\frac{3\space000}{v(v+40)} = 6$$ $$3\space000 = 6v(v+40)$$ $$500 = v(v+40)$$ $$v^2 + 40v-500 = 0$$
Решаем квадратное уравнение:

$$v = \dfrac{-40 \pm \sqrt{1\space600 + 2\space000}}{2}$$ $$v = \frac{-40 \pm \sqrt{3\space600}}{2} = \dfrac{-40 \pm 60}{2}$$ $$v_1 = 10$$ $$ v_2 = -50$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10.$ Ответ: скорость велосипедиста равна $10\ км/ч.$

$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\dfrac{70}{v-3}.$

$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\dfrac{70}{v} + 3.$

$3.$ По условию: $\dfrac{70}{v-3} = \dfrac{70}{v} + 3.$

Решаем уравнение: $$\dfrac{70}{v-3} = \dfrac{70}{v} + 3$$ $$\dfrac{70}{v-3} = \dfrac{70 + 3v}{v}$$ $$70v = 70(v-3) + 3v(v-3)$$ $$70v = 70v-210 + 3v^2 — 9v$$ $$3v^2-9v-210 = 0$$ $$v^2-3v-70 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 280}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{3 \pm 17}{2}$$ $$v_1 = 10$$ $$\quad v_2 = -7$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10.$
Ответ: скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ равна $10\ км/ч.$

$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\dfrac{98}{v}.$

$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\dfrac{98}{v+7} + 7.$

$3.$ По условию: $\frac{98}{v} = \dfrac{98}{v+7} + 7.$

Решаем уравнение:
$$\frac{98}{v} = \frac{98}{v+7} + 7$$ $$\frac{98}{v} = \frac{98 + 7(v+7)}{v+7}$$ $$\frac{98}{v} = \frac{98 + 7v + 49}{v+7}$$ $$\frac{98}{v} = \frac{147 + 7v}{v+7}$$ $$98(v+7) = v(147 + 7v)$$ $$98v + 686 = 147v + 7v^2$$ $$7v^2 + 49v-686 = 0$$ $$v^2 + 7v — 98 = 0$$
Решаем квадратное уравнение:

$$v = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 392}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-7 \pm 21}{2}$$ $$v_1 = 7$$ $$ v_2 = -14$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 7.$

Ответ: скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $7\ км/ч.$

$1.$ Время первого велосипедиста: $\dfrac{240}{v+1}.$

$2.$ Время второго велосипедиста: $\dfrac{240}{v}.$

$3.$ По условию: $\dfrac{240}{v}-\dfrac{240}{v+1} = 1.$

Решаем уравнение: $$\frac{240}{v}-\frac{240}{v+1} = 1$$ $$\frac{240(v+1)-240v}{v(v+1)} = 1$$ $$\frac{240v + 240-240v}{v(v+1)} = 1$$ $$\frac{240}{v(v+1)} = 1$$ $$240 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-240 = 0$$Решаем квадратное уравнение:$$v = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 960}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{-1 \pm 31}{2}$$ $$v_1 = 15$$ $$v_2 = -16$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 15.$
Скорость первого велосипедиста: $v + 1 = 15 + 1 = 16.$

Ответ: скорость первого велосипедиста равна $16\ км/ч.$

$1.$ За первый час первый автомобиль проехал: $$60 \cdot 1 = 60\ км$$ $2.$ Оставшееся расстояние: $$435-60 = 375\ км$$ $3.$ Скорость сближения автомобилей: $$60 + 65 = 125\ км/ч$$ $4.$ Время до встречи после выезда второго автомобиля: $$\frac{375}{125} = 3\ ч$$ $5.$ Общее время движения первого автомобиля: $$1 + 3 = 4\ ч$$ $6.$ Расстояние от города A до места встречи: $$60 \cdot 4 = 240\ км$$ Ответ: автомобили встретятся на расстоянии $240\ км$ от города $A.$

$1.$ Расстояние, пройденное вторым автомобилем до встречи:
$$470-350 = 120\ км$$ $2.$ Время движения второго автомобиля: $$t_2 = \frac{120}{60} = 2\ ч$$ $3.$ Время движения первого автомобиля: $$t_1 = t_2 + 3 = 2 + 3 = 5\ ч$$ $4.$ Скорость первого автомобиля: $$v_1 = \frac{350}{5} = 70\ км/ч$$ Ответ: скорость первого автомобиля равна $70\ км/ч.$

$1.$ Пусть $x$ — время велосипедиста из $B$ в $A.$

$2.$ Тогда время мотоциклиста: $x-3.$

$3.$ Скорость велосипедиста: $\dfrac{1}{x}.$

$4.$ Скорость мотоциклиста: $\dfrac{1}{x-3}.$
$5.$ Путь велосипедиста до встречи: $$\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{5x}$$ $6.$ Путь мотоциклиста до встречи: $$\dfrac{1}{x-3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{5(x-3)}$$ $7.$ Сумма путей до встречи равна $1$: $$\dfrac{4}{5x} + \dfrac{4}{5(x-3)} = 1$$ $8.$ Умножаем на $5x(x-3)$: $$4(x-3) + 4x = 5x(x-3)$$ $9.$ Раскрываем скобки: $$4x-12 + 4x = 5x^2-15x$$ $10.$ Приводим к стандартному виду:$$5x^2-23x + 12 = 0$$ $11.$ Решаем квадратное уравнение:
$$D = 23^2-4 \cdot 5 \cdot 12 = 529-240 = 289$$ $$x_1 = \frac{23-17}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ — не подходит;$$x_2 = \frac{23 + 17}{10} = \frac{40}{10} = 4$$ Ответ: велосипедист затратил $4$ часа на путь из пункта $B$ в пункт $A.$

$1.$ За $1$ минуту товарный поезд проезжает на $0,75\ км$ меньше.

$2.$ За $1$ час $(60$ минут$)$ товарный поезд проезжает меньше на: $$0,75 \cdot 60 = 45\ км$$ $3.$ Пусть $v_t$ — скорость товарного поезда.

$4.$ Тогда скорость скорого поезда: $v_t + 45\ км/ч.$

$5.$ Время товарного поезда: $t_t = \dfrac{180}{v_t}.$

$6.$ Время скорого поезда: $t_s = \dfrac{180}{v_t + 45}.$

$7.$ По условию: $t_t-t_s = 2.$

$8.$ Составляем уравнение:
$$\frac{180}{v_t}-\frac{180}{v_t + 45} = 2$$ $9.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{180(v_t + 45)-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$$10.$ Упрощаем числитель: $$\frac{180v_t + 8\space100-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $11.$ Получаем: $$\frac{8\space100}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $12.$ Умножаем обе части на знаменатель: $$8\space100 = 2v_t(v_t + 45)$$ $13.$ Раскрываем скобки: $$8\space100 = 2v_t^2 + 90v_t$$ $14.$ Делим на 2: $$4\space050 = v_t^2 + 45v_t$$ $15.$ Приводим к стандартному виду: $$v_t^2 + 45v_t-4\space050 = 0$$ $16.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 45^2 + 4 \cdot 4\space050 = 2\space025 + 16\space200 = 18\space225$$ $$v_t = \frac{-45 + \sqrt{18\space225}}{2} = \frac{-45 + 135}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ Ответ: скорость товарного поезда равна $45\ км/ч.$