20. Текстовые задачи: #193495

$1.$ За $1$ минуту товарный поезд проезжает на $0,75\ км$ меньше.

$2.$ За $1$ час $(60$ минут$)$ товарный поезд проезжает меньше на: $$0,75 \cdot 60 = 45\ км$$ $3.$ Пусть $v_t$ — скорость товарного поезда.

$4.$ Тогда скорость скорого поезда: $v_t + 45\ км/ч.$

$5.$ Время товарного поезда: $t_t = \dfrac{180}{v_t}.$

$6.$ Время скорого поезда: $t_s = \dfrac{180}{v_t + 45}.$

$7.$ По условию: $t_t-t_s = 2.$

$8.$ Составляем уравнение:
$$\frac{180}{v_t}-\frac{180}{v_t + 45} = 2$$ $9.$ Приводим к общему знаменателю: $$\frac{180(v_t + 45)-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$$10.$ Упрощаем числитель: $$\frac{180v_t + 8\space100-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $11.$ Получаем: $$\frac{8\space100}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $12.$ Умножаем обе части на знаменатель: $$8\space100 = 2v_t(v_t + 45)$$ $13.$ Раскрываем скобки: $$8\space100 = 2v_t^2 + 90v_t$$ $14.$ Делим на 2: $$4\space050 = v_t^2 + 45v_t$$ $15.$ Приводим к стандартному виду: $$v_t^2 + 45v_t-4\space050 = 0$$ $16.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 45^2 + 4 \cdot 4\space050 = 2\space025 + 16\space200 = 18\space225$$ $$v_t = \frac{-45 + \sqrt{18\space225}}{2} = \frac{-45 + 135}{2} = \frac{90}{2} = 45$$ Ответ: скорость товарного поезда равна $45\ км/ч.$