20. Текстовые задачи: #193480

Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $v + 16$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $1$. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

$$\dfrac{0.5}{24} + \dfrac{0.5}{v + 16} = \dfrac{1}{v}$$Приведем к общему знаменателю:
$$\dfrac{0.5(v + 16) + 0.5 \cdot 24}{24(v + 16)} = \dfrac{1}{v}$$Упростим числитель:
$$0.5v + 8 + 12 = 0.5v + 20$$Тогда уравнение примет вид:
$$\dfrac{0.5v + 20}{24(v + 16)} = \dfrac{1}{v}$$Перемножим крест-накрест:
$$v(0.5v + 20) = 24(v + 16)$$Раскроем скобки:
$$0.5v^2 + 20v = 24v + 384$$Перенесем все в одну сторону:
$$0.5v^2-4v-384 = 0$$Умножим на $2,$ чтобы избавиться от дроби:
$$v^2-8v-768 = 0$$Решим квадратное уравнение:
$$v = \dfrac{8 \pm \sqrt{64 + 3072}}{2} = \dfrac{8 \pm \sqrt{3136}}{2} = \dfrac{8 \pm 56}{2}$$Получаем корни:
$$v_1 = \dfrac{64}{2} = 32$$ $$ v_2 = \dfrac{-48}{2} = -24$$Отрицательный корень не имеет физического смысла.

Ответ: cкорость первого автомобиля равна $32$ км/ч.