19. Числа и их свойства: все задания

Найдем все возможные комбинации цифр, дающие сумму $20{:}$
$$20 = 9 + 9 + 2 $$$$20= 9 + 8 + 3 $$$$20= 9 + 7 + 4 $$ $$20= 9 + 6 + 5 $$ $$20= 8 + 8 + 4$$ $$20= 8 + 7 + 5\space(подходящая\spaceкомбинация)$$ $$20= 8 + 6 + 6 $$ $$20= 7 + 7 + 6$$Проверим условие для цифр $5,7,8{:}$ $$ 5^2 + 7^2 + 8^2 = 25 + 49 + 64 = 138 $$ $$ 138:3 = 46 \quad \text{(делится)} $$ $$ 138:9 = 15\frac{1}{3} \quad \text{(не делится)} $$Получаем все перестановки этих цифр:$$ 578, 587, 758, 785, 857, 875. $$

Число имеет одинаковые остатки при делении на $5$ и на $6,$ значит, оно имеет вид:
$ 30n + r,$ где $r = 1, 2, 3, 4. $

Для $n \geq 14 $ получаем числа больше $400.$ Проверим:

При $ n = 14 $: $$421, 422, 423, 424$$ — не подходят по условию.
При $ n = 15 $: $$451, 452, 453, 454$$ Число $453:$
$$ 4 = \frac{5 + 3}{2} \text{ — верно}.$$Также подходят числа $573\spaceи\space 693.$
Ответ : $453, 573, 693.$

$1.$ Чтобы число делилось на $11,$ разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, должна делиться на $11.$

$2.$ Так как произведение цифр должно делиться на $5,$ но не на $25,$ в числе должна быть цифра $5,$ но не должно быть двух пятёрок.

$3.$ Проверим возможные комбинации:
$5\space124$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 40$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(1+4)-(5+2)=-2$ $($не делится на $11).$

$5\space234$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(2+4)-(5+3)=-2$ $($не делится на $11).$

$5\space316$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 6 = 90$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(3+6)-(5+1)=3$ $($не делится на $11).$

$5\space416$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 6 = 120$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(4+6)-(5+1)=4$ $($не делится на $11).$

$5\space617$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 7 = 210$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(6+7)-(5+1)=7$ $($не делится на $11).$

$5\space718$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 8 = 280$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(7+8)-(5+1)=9$ $($не делится на $11).$

$5\space819$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 9 = 360$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(8+9)-(5+1)=11$ $($делится на $11).$

$4.$ Число $5\space819$ удовлетворяет всем условиям:
все цифры различны;
делится на $11;$
произведение цифр делится на $5,$ но не на $25.$

Ответ: $5\space819.$

Условия:
Кратность $25{:}$ оканчивается на $25, 50$ или $75.$
Все цифры различны.
Сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

Проверка чисел:

$125=$ $1^2 + 2^2 + 5^2 = 30$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

$175=$ $1^2 + 7^2 + 5^2 = 75$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

$275=$ $2^2 + 7^2 + 5^2 = 78$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

$725=$ $7^2 + 2^2 + 5^2 = 78$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

$825=$ $8^2 + 2^2 + 5^2 = 93$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

$875=$ $8^2 + 7^2 + 5^2 = 138$ — сумма квадратов цифр делится на $3,$ но не делится на $9.$

Ответ: $125, 175, 275, 725, 825, 875.$

$1.$ Пусть наше число имеет вид $abcd$.

$2.$ По условию: $$a + b + c + d = a \cdot b \cdot c \cdot d$$ И число должно делиться на $4,$ то есть $10c + d$ должно делиться на $4.$

$3.$ Анализ возможных комбинаций:
Если среди цифр есть три единицы, равенство невозможно $(1+1+1+x > 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot x).$
Если единица только одна, произведение будет слишком большим.
Значит, среди цифр должно быть ровно две единицы.

$4.$ Рассмотрим двузначные числа, делящиеся на $4{:}$

$12:$ подходят цифры $1$ и $4$ $($получаем числа $1\space412, 4\space112);$
$16:$ подходят только единицы $($не подходит$);$
$24:$ подходят две единицы $($получаем число $1\space124);$
$32:$ подходят цифры $1$ и $8$ $($не подходят по проверке$);$
$36:$ не подходит;
$44:$ не подходит;
$48:$ не подходит;
$52:$ не подходит;
$56:$ не подходит;
$64:$ не подходит;
$72:$ не подходит;
$76:$ не подходит;
$84:$ не подходит;
$92:$ не подходит.

$5.$ Проверка всех подходящих чисел.
Для числа $1\space412$: $$1+4+1+2 = 1 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 2 = 8$$Для числа $4\space112$: $$4+1+1+2 = 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 8$$Для числа $1\space124$: $$1+1+2+4 = 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$$Ответ: $1\space124,1\space412, 4\space112.$

$1.$ Условия задачи:
число кратно $19;$
сумма цифр на $1$ больше их произведения;
все цифры числа больше $0.$

$2.$ Проверка возможных сумм цифр:
Минимальная сумма цифр: $4$ $($так как все цифры больше $ 0).$
Проверим суммы $5$, $6$, $7$ и т.д.

$3.$Сумма цифр равна $5{:}$
Возможные комбинации: $1\space112$, $1\space121$, $1\space211$, $2\space111$.
Произведение цифр: $2$.
Условие $a + b + c + d = a \cdot b \cdot c \cdot d + 1$ не выполняется.

$4.$ Сумма цифр равна $6{:}$
Возможные комбинации: $1\space113$, $1\space122$.
Произведение цифр: $3$ или $4$.
Условие $a + b + c + d = a \cdot b \cdot c \cdot d + 1,$ не выполняется.

$5.$ Сумма цифр равна $7{:}$
Возможная комбинация: $3\space211$.

Проверка:
Сумма цифр: $3 + 2 + 1 + 1 = 7$.
Произведение цифр: $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$.
Условие выполняется: $7 = 6 + 1$.

Проверка кратности $19{:}$
$3\space211 : 19 = 169$ (целое число).

Ответ: $3\space211.$

$1.$ Чтобы число делилось на $24$, оно должно делиться на $3$ и на $8.$

$2.$ Число делится на $8$, если три его последние цифры образуют число, делящееся на $8.$
Так как число состоит только из цифр $1$ и $0,$ оно должно заканчиваться на $000.$

$3.$ Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$.
Поскольку три последние цифры — нули, сумма первых трёх цифр должна делиться на $3.$

$4.$ Так как число состоит только из $1$ и $0,$ возможные варианты для первых трёх цифр:
$111$ $($сумма равна $3);$
$100$ $($сумма равна $1);$
$000$ $($сумма равна $0).$

$5.$ Из этих вариантов только $111$ даёт сумму, кратную $3.$

$6.$ Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем условиям: $111\space000.$

Проверка:
$111\space000$ делится на $8$ $($ $000$ делится на $8).$
$111\space000$ делится на $3$ (сумма цифр $1+1+1+0+0+0=3$ делится на $3).$
$111\space000$ делится на $24.$

Ответ: $111\space000.$

$1.$ Чтобы число делилось на $25$, оно должно оканчиваться на: $00,25,50,75.$

$2.$ По условию все цифры должны быть нечетными, поэтому:
$00$ не подходит (цифра $0$ четная)
$25$ не подходит (цифра $2$ четная)
$50$ не подходит (цифра $0$ четная)
Остается только $75.$

$3.$ Первые две цифры могут быть любыми нечетными числами, но все цифры должны быть различными.
Возможные нечетные цифры: $1, 3, 5, 7, 9.$

$4.$ Составим возможные комбинации: $1\space375,1\space975,3\space175,3\space975,9\space175,9\space375.$

Проверка:
все числа оканчиваются на $75$ (значит, делятся на $25);$
все цифры в числах различны;
все цифры нечетные $(1, 3, 7, 5, 9);$
числа четырехзначные.

Проверка на делимость на $25$:
$1\space375 : 25 = 55$ (целое число);
$1\space975 :25 = 79$ (целое число);
$3\space175 : 25 = 127$ (целое число);
$3\space975 : 25 = 159$ (целое число);
$9\space175 : 25 = 367$ (целое число);
$9\space375 : 25 = 375$ (целое число).

Ответ: $1\space375$ (или любое другое из перечисленных чисел).

Найдем трехзначное число $>800,$ где:
$1.$ Все цифры различны и $\neq 0.$
$2.$ Делится на каждую свою цифру.

Решение:
$1.$ Первая цифра $8$ или $9.$
$2.$ Переберем возможные варианты:

Для чисел, начинающихся на $8$:
Число $816$: $$816 : 8 = 102$$ $$816 : 1 = 816$$ $$816 : 6 = 136$$— подходит.

Число $864$: $$864 : 8 = 108$$$$864 : 6 = 144$$$$864 : 4 = 216$$ — подходит.

Для чисел, начинающихся на $9$:
Число $936$: $$936 : 9 = 104$$$$936 : 3 = 312$$$$936 : 6 = 156$$ — подходит.

Ответ: $816$ (или $864$, $936$)

$1.$ Число должно делиться на $45,$ значит:
Оно должно делиться на $5.$
Оно должно делиться на $9.$

$2.$ Признаки делимости:
На $5$: число должно оканчиваться на $0$ или $5.$
На $9$: сумма цифр должна делиться на $9.$

$3.$ По условию:
Все цифры должны быть четными.
Все цифры должны быть различными.
Число должно быть четырехзначным.

$4.$ Учитывая, что все цифры четные и число должно делиться на $5,$ последняя цифра может быть только $0.$

$5.$ Возможные четные цифры: $0, 2, 4, 6, 8.$

$6.$ Составим числа, сумма цифр которых делится на $9{:}$
$4 + 6 + 8 + 0 = 18$ (делится на $9).$
$6 + 8 + 4 + 0 = 18$ (делится на $9).$

$7.$ Возможные числа: $4\space680,4\space860,6\space480,6\space840,8\space460,8\space640.$

Проверка:
все числа оканчиваются на $0$ $($делятся на $5);$
сумма цифр всех чисел делится на $9;$
все цифры в числах различны;
все цифры четные;
числа четырехзначные.

Ответ: $4\space680$ (или любое другое из перечисленных чисел).

Условия:
$1.$ Делится на $15$ $\Rightarrow$ делится на $3$ и $5.$
$2.$ Произведение цифр: $a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e = 60.$
$3.$ Оканчивается на $5$ $($так как при $0$ произведение $=0).$

Решение:
$1.$ Разложение $60$ для цифр:
$60 = 5 \cdot 3 \cdot2 \cdot2 \cdot1 = 5 \cdot4 \cdot3 \cdot1 \cdot1.$

$2.$ Варианты с окончанием $5$:
Число $11\space235{:}$
Произведение: $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ — не подходит.
Число $11\space325{:}$
Произведение: $1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30$ — не подходит.
Число $11\space265{:}$
Произведение: $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 5 = 60.$
Сумма цифр: $1+1+2+6+5=15$ (делится на $3).$
Проверка: $11\space265 : 15 = 751.$

$3.$ Другие подходящие варианты:
$12\space165$, $21\space165$, $11\space625$ — все дают произведение $60.$

Ответ: $11\space265$ $(или\space12\space165, 21\space165, 11\space625).$

Решение:
$1.$ Рассмотрим диапазон $1\space641$ до $1\space929$ (исключая числа с $0$)
$2.$ Проверим подходящие варианты:

Число $1\space680{:}$
Цифры: $1,6,8,0$ — содержит $0$ — не подходит.

Число $1\space728{:}$
Цифры: $1,7,2,8$
Проверка делимости:
$1\space728 : 1 = 1\space728;$
$1\space728 : 7 \approx 246.857$ — не делится — не подходит.

Число $1\space824{:}$
Цифры: $1,8,2,4.$
Проверка:
$1\space824 : 1 = 1\space824;$
$1\space824 : 8 = 228;$
$1\space824 : 2 = 912;$
$1\space824 : 4 = 456$ → подходит.

Число $1\space848{:}$
Цифры: $1,8,4,8$ — повторяется $8$ — не подходит.

Ответ: $1\space824.$

Условия:
$1.$ Только цифры $1$ и $5.$
$2.$ Делится на $45$ $\Rightarrow$ на $5$ и $9.$

Решение:
$1.$ Окончание на $5$ $($так как на $0$ нельзя$).$
$2.$ Сумма цифр делится на $9.$
$3.$ Сумма $a+b+c+d+e+5$ должна делиться на $9.$
$4.$ Диапазон сумм: от $1+1+1+1+1+5=10$ до $1+5+5+5+5+5=26.$
$5.$ Подходит только сумма $18.$

Варианты:

$1.$ Четыре $1$ и две $5\Rightarrow$ $1+1+1+1+5+5=14$ — не подходит.

$2.$ Три $1$ и три $5\Rightarrow$ $1+1+1+5+5+5=18$ — подходит.

$3.$ Две $1$ и четыре $5\Rightarrow$ $1+1+5+5+5+5=22$ — не подходит.

Проверка:
Число $111\space555{:}$
Сумма: $1+1+1+5+5+5=18$ (делится на $9).$
$111\space555 : 45 = 2\space479$ (целое$).$

Ответ: $111\space555.$

Условия:
$1.$ Только цифры $2$ и $0.$
$2.$ Делится на $30$ $\Rightarrow$ на $2,$ $3$ и $5.$

Решение:
$1.$ Оканчивается на $0$ $($делимость на $5$ и $2).$
$2.$ Сумма цифр делится на $3$.
$3.$ Диапазон сумм:
Минимальная: $2+0+0+0+0+0=2.$
Максимальная: $2+2+2+2+2+0=10.$

Варианты:
Число $222\space000{:}$
Сумма: $2+2+2+0+0+0=6.$
Проверка: $222\space000 : 30 = 7\space400.$

Число $202\space020{:}$
Сумма: $2+0+2+0+2+0=6.$
Проверка: $202\space020 : 30 = 6\space734.$

Число $220\space200{:}$
Сумма: $2+2+0+2+0+0=6.$
Проверка: $220\space200 : 30 = 7\space340.$

Ответ: $202\space020 $ (или $222\space000,$ $220\space200).$

$1.$ По условию число должно быть:
больше $1\space340$ но меньше $1\space640;$
делиться на каждую свою цифру;
все цифры различны;
все цифры не равны нулю.

$2.$ Поскольку число находится в диапазоне от $1\space341$ до $1\space639,$ первая цифра равна $1.$

$3.$ Проверим число $1395$:
Делится на $1$ ($1\space395 : 1 = 1\space395).$
Делится на $3$ ($1\space395 : 3 = 465).$
Делится на $9$ ($1\space395 : 9 = 155).$
Делится на $5$ ($1\space395 : 5 = 279).$
Все цифры различны.
Все цифры не равны нулю.

$4.$ Проверим число $1\space470{:}$
Не подходит, так как содержит цифру $0.$

$5.$ Проверим число $1\space539{:}$
Делится на $1$ ($1\space539 : 1 = 1\space539).$
Делится на $5$ ($1\space539 : 5 = 307.8$ — не делится).
Не подходит.

$6.$ Проверим число $1\space639{:}$
Не подходит, так как больше $1\space639.$

Ответ: $1\space395.$

$1.$ Чтобы число делилось на $12,$ оно должно:
Делиться на $3$ (сумма цифр делится на $3).$
Делиться на $4$ (две последние цифры образуют число, делящееся на $4).$

$2.$ По условию произведение цифр равно $40.$ Разложим $40$ на множители:
$40 = 1 \cdot 1 \cdot5 \cdot8;$
$40 = 1 \cdot2 \cdot4 \cdot5.$

$3.$ Проверим комбинации цифр $1, 2, 4, 5{:}$
Возможные числа: $1\space245, 1\space254, 1\space425, 1\space452, 1\space524, 1\space542.$
Также возможны перестановки: $2\space145, 2\space154, 2\space415, 2\space451, 2\space514, 2\space541.$
И другие перестановки с цифрами $4$ и $5$ впереди.

$4.$ Проверим делимость на $4$ (последние две цифры должны делиться на $4$):
$1\space452$ — делится ($52 : 4 = 13);$
$1\space524$ — делится ($24 : 4 = 6);$
$4\space152$ — делится ($52 : 4 = 13);$
$4\space512$ — делится ($12 : 4 = 3);$
$5\space124$ — делится ($24 : 4 = 6);$
$5\space412$ — делится ($12 : 4 = 3).$

$5.$ Проверим делимость на $3$ (сумма цифр должна делиться на $3$):
$1\space452\Rightarrow$ $1 + 4 + 5 + 2 = 12$ (делится на $3);$
$1\space524\Rightarrow$ $1 + 5 + 2 + 4 = 12$ (делится на $3);$
$4\space152\Rightarrow$ $4 + 1 + 5 + 2 = 12$ (делится на $3);$
$4\space512\Rightarrow$ $4 + 5 + 1 + 2 = 12$ (делится на $3);$
$5\space124\Rightarrow$ $5 + 1 + 2 + 4 = 12$ (делится на $3);$
$5\space412\Rightarrow$ $5 + 4 + 1 + 2 = 12$ (делится на $3).$

$6.$ Проверим произведение цифр:
$1 \cdot 5 \cdot2 \cdot4 = 40;$
$4 \cdot1 \cdot5 \cdot2 = 40;$
$5 \cdot1 \cdot2 \cdot4 = 40.$

Ответ: $1\space524$ $($или $5\space124$, $4\space152$, $4\space512$, $5\space412).$

Условия:
$1.$ Только цифры $1$ и $2$.
$2.$ Делится на $72$ $\Rightarrow$ делится на $8$ и $9$.

Решение:
$1.$ Делимость на $9$: сумма цифр делится на $9$.
$2.$ Делимость на $8$: последние три цифры делятся на $8$.
$3.$ Возможные суммы: от $1+1+1+1+1+2=7$ до $2+2+2+2+2+1=11$.
Подходит только $9$.

Варианты:
$1.$ Три $1$ и три $2$: $1+1+1+2+2+2=9.$
$2.$ Проверим комбинации:

Число $122\space112{:}$
Последние три цифры: $112$ ($112 : 8 = 14).$
Сумма: $1+2+2+1+1+2=9.$
Проверка: $122\space112 : 72 = 1\space696.$

Число $212\space112{:}$
Последние три цифры: $112$ ($112 : 8 = 14).$
Сумма: $2+1+2+1+1+2=9.$
Проверка: $212\space112 : 72 = 2\space946.$

Число $221\space112{:}$
Последние три цифры: $112$ ($112 : 8 = 14).$
Сумма: $2+2+1+1+1+2=9.$
Проверка:
$221\space112 : 72 = 3\space071.$

Ответ: $122\space112$ (также подходят $221\space112$ и $212\space112).$

Найдем трехзначное число $>500$, где:
$1.$ При делении на $4$, $5$ и $6$ остаток $2.$
$2.$ Только две различные цифры.

Решение:
$1.$ Число имеет вид: $N = \text{НОК}(4,5,6) \cdot k + 2 = 60k + 2.$
$2.$ Подходящие числа: $542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962.$
$3.$ Проверяем условие с цифрами:

Число $662{:}$
Цифры: $6,6,2$ (две различные).
Проверка:
$662 : 4 = 165$ остаток $2;$
$662 : 5 = 132$ остаток $2;$
$662 : 6 = 110$ остаток $2.$

Число $722{:}$
Цифры: $7,2,2$ (две различные).
Проверка:
$722 :4 = 180$ остаток $2;$
$722 :5 = 144$ остаток $2;$
$722 :6 = 120$ остаток $2.$

Ответ: $662$ (или $722).$

Условия:
$1.$ Делится на $88$ $\Rightarrow$ на $8$ и $11.$
$2.$ Все цифры четные: $0,2,4,6,8.$
$3.$ Все цифры разные.

Решение:
$1.$ Варианты окончаний (делимость на $8){:}$
$024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408,$
$480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864.$

$2.$ Проверяем делимость на $11{:}$
Число $6\space248{:}$
$(6+4)-(2+8)=0$ $\Rightarrow$ делится.
Цифры: $6,2,4,8$ — разные.

Число $8\space624{:}$
$(8+2)-(6+4)=0$ $\Rightarrow$ делится.
Цифры: $8,6,2,4$ — разные.

Число $2\space640{:}$
$(2+4)-(6+0)=0$ $\Rightarrow$ делится.
Цифры: $2,6,4,0$ — разные.

$3.$ Проверка деления:
$6\space248 : 88 = 71;$
$8\space624 :88 = 98;$
$2\space640 :88 = 30.$

Ответ: $2\space640$ (или $6\space248$, $8\space624).$

Найдем трехзначное число $>600$, где:
$1.$ При делении на $3$, $4$, $5$ остаток $1.$
$2.$ Цифры расположены в порядке убывания.

Решение:
$1.$ Число имеет вид: $N = \text{НОК}(3,4,5) \cdot k + 1 = 60k + 1.$
$2.$ В диапазоне $>600$: $601, 661, 721, 781, 841, 901, 961.$
$3.$ Проверяем порядок цифр:

$721$: $7 > 2 > 1$ $\Rightarrow$ подходит;
$841$: $8 > 4 > 1$ $\Rightarrow$ подходит;
$961$: $9 > 6 > 1$ $\Rightarrow$ подходит.

Проверка делений с остатком $1$:
$721 : 3 = 240$ остаток $1;$
$721 : 4 = 180$ остаток $1;$
$721 : 5 = 144$ остаток $1.$

$841 : 3 = 280$ остаток $1;$
$841 : 4 = 210$ остаток $1;$
$841 : 5 = 168$ остаток $1.$

$961 : 3 = 320$ остаток $1;$
$961 : 4 = 240$ остаток $1;$
$961 : 5 = 192$ остаток $1.$

Ответ: $721$ (или $841$, $961).$