19. Числа и их свойства: #193088

$1.$ Чтобы число делилось на $11,$ разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, должна делиться на $11.$

$2.$ Так как произведение цифр должно делиться на $5,$ но не на $25,$ в числе должна быть цифра $5,$ но не должно быть двух пятёрок.

$3.$ Проверим возможные комбинации:
$5\space124$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 4 = 40$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(1+4)-(5+2)=-2$ $($не делится на $11).$

$5\space234$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 120$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(2+4)-(5+3)=-2$ $($не делится на $11).$

$5\space316$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 6 = 90$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(3+6)-(5+1)=3$ $($не делится на $11).$

$5\space416$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 6 = 120$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(4+6)-(5+1)=4$ $($не делится на $11).$

$5\space617$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 7 = 210$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(6+7)-(5+1)=7$ $($не делится на $11).$

$5\space718$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 8 = 280$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(7+8)-(5+1)=9$ $($не делится на $11).$

$5\space819$ $\Rightarrow$ $5 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 9 = 360$ $($делится на $5,$ но не на $25);$
$(8+9)-(5+1)=11$ $($делится на $11).$

$4.$ Число $5\space819$ удовлетворяет всем условиям:
все цифры различны;
делится на $11;$
произведение цифр делится на $5,$ но не на $25.$

Ответ: $5\space819.$