19. Числа и их свойства: #193091

$1.$ Условия задачи:
число кратно $19;$
сумма цифр на $1$ больше их произведения;
все цифры числа больше $0.$

$2.$ Проверка возможных сумм цифр:
Минимальная сумма цифр: $4$ $($так как все цифры больше $ 0).$
Проверим суммы $5$, $6$, $7$ и т.д.

$3.$Сумма цифр равна $5{:}$
Возможные комбинации: $1\space112$, $1\space121$, $1\space211$, $2\space111$.
Произведение цифр: $2$.
Условие $a + b + c + d = a \cdot b \cdot c \cdot d + 1$ не выполняется.

$4.$ Сумма цифр равна $6{:}$
Возможные комбинации: $1\space113$, $1\space122$.
Произведение цифр: $3$ или $4$.
Условие $a + b + c + d = a \cdot b \cdot c \cdot d + 1,$ не выполняется.

$5.$ Сумма цифр равна $7{:}$
Возможная комбинация: $3\space211$.

Проверка:
Сумма цифр: $3 + 2 + 1 + 1 = 7$.
Произведение цифр: $3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1 = 6$.
Условие выполняется: $7 = 6 + 1$.

Проверка кратности $19{:}$
$3\space211 : 19 = 169$ (целое число).

Ответ: $3\space211.$