13. Задачи по стереометрии: все задания
Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $9.$ Найдите объем треугольной пирамиды $ABCA_1.$
Используемые формулы:
Формула объема параллелепипеда: $V_{\text{пар}} = S_{\text{осн}} \cdot h$
Формула объема пирамиды: $V_{\text{пир}} = \dfrac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h$
Основание пирамиды $ABCA_1$ (треугольник $ABC$) составляет ровно половину площади основания параллелепипеда $ABCD{:}$ $$S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}$$Подставляем в формулу объема пирамиды:
$$V_{ABCA_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{6}S_{ABCD} \cdot h$$ Учитывая, что $S_{ABCD} \cdot h = 9$ (объем параллелепипеда), получаем: $$V_{ABCA_1} = \frac{1}{6} \cdot 9 = 1.5$$Объем пирамиды $ABCA_1$ равен $1.5.$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $1,$ $2.$ Объем параллелепипеда равен $6.$ Найдите площадь его поверхности.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда: $$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро: $$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{6}{1 \cdot 2} = 3$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3) =22$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $22.$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $5,$ $10.$ Объем параллелепипеда равен $750.$ Найдите площадь его поверхности.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{750}{5 \cdot 10} = 15$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(5 \cdot 10 + 5 \cdot 15 + 10 \cdot 15)=550$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $550.$
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны $7$ и $4,$ а объем параллелепипеда равен $140.$ Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \cdot b \cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \frac{V}{a \cdot b} = \frac{140}{7 \cdot 4} = 5$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Вычислим площадь:$$S = 2\cdot(7 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 7 \cdot 5)=166$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $166.$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AB,$ $BC$ и диагональ боковой грани $BC_1$ равны соответственно $7,$ $3$ и $3\sqrt{5}.$ Найдите объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$
Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $CC_1{:}$
$$CC_1 = \sqrt{(3\sqrt{5})^2-3^2} = \sqrt{45-9} = \sqrt{36} = 6$$Найдем площадь основания:$$S_{\text{осн}} = AB \cdot BC = 7 \cdot 3 = 21$$Вычислим объем параллелепипеда:$$V = CC_1 \cdot S_{\text{осн}} = 6 \cdot 21 = 126$$Объем параллелепипеда равен $126.$
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $CD,$ $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $2,$ $4$ и $2\sqrt{10}$. Найдите площадь поверхности параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$
Найдем высоту параллелепипеда $DD_1$ по теореме Пифагора:$$DD_1 = \sqrt{(2\sqrt{10})^2-2^2} = \sqrt{40-4} = 6$$Площадь поверхности вычислим по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$где $a=CD=2,$ $b=CB=4,$ $c=DD_1=6.$
Выполним вычисления:$$S = 2\cdot(2 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 2 \cdot 6) = 88$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $88.$
Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8,$ боковое ребро равно $5.$ Найдите объем призмы.
Формула объема прямой призмы:$$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$ Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника):$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$$ Вычислим объем:$$V = 24 \cdot 5 = 120$$Объем призмы равен $120.$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $2,$ а гипотенуза равна $\sqrt{53}.$ Найдите объем призмы, если ее высота равна $3.$
Найдем второй катет по теореме Пифагора:$$b = \sqrt{(\sqrt{53})^2-2^2} = \sqrt{53-4} = 7$$Вычислим площадь основания:$$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 7 = 7$$Найдем объем призмы:$$V = S \cdot h = 7 \cdot 3 = 21$$Объем призмы равен $21.$
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны $11$ и $5.$ Найдите объем призмы, если ее высота равна $4.$
Формула площади прямоугольного треугольника:$$S = \frac{1}{2}ab$$Вычислим площадь основания:$$S = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 5 = 27.5$$Формула объема призмы:$$V = S \cdot h$$Найдем объем призмы:$$V = 27.5 \cdot 4 = 110$$Объем призмы равен $110.$
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $10,$ боковые ребра равны $13.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Теорема Пифагора для нахождения апофемы:$$ h = \sqrt{l^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} $$Найдем апофему пирамиды:$$ h = \sqrt{13^2-5^2} = \sqrt{169-25} = 12 $$Вычислим периметр основания:$$ P = 6 \cdot 10 = 60 $$Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:$$ S = \frac{1}{2} P h $$Найдем площадь боковой поверхности:$$ S = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12 = 360 $$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $360.$
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $16,$ боковые ребра равны $17.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Найдем апофему пирамиды по теореме Пифагора:$$h = \sqrt{17^2-8^2} = \sqrt{289-64} = 15$$Вычислим периметр основания:$$P = 6 \cdot 16 = 96$$Найдем площадь боковой поверхности:$$S = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot 15 = 720$$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $720.$
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $3$ и $4.$ Ее объем равен $16.$ Найдите высоту этой пирамиды.
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3} S h$$Вычислим площадь основания:$$S = 3 \cdot 4 = 12$$Найдем высоту пирамиды:$$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 16}{12} = 4$$Высота пирамиды равна $4.$
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $1,$ а высота равна $\sqrt{3}.$
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3} S h$$Площадь равностороннего треугольника:$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$Вычислим объем:$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0.25$$Объем пирамиды равен $0.25.$
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $4$ и $5.$ Ее объем равен $80.$ Найдите высоту этой пирамиды.
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3} S h$$Вычислим площадь основания:$$S = 4 \cdot 5 = 20$$Найдем высоту пирамиды:$$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 \cdot 80}{20} = 12$$Высота пирамиды равна $12.$
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $3,$ а высота равна $6\sqrt{3}.$
Используемые формулы:
Формула площади равностороннего треугольника:
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$где $a$ — длина стороны треугольника.
Формула объема пирамиды:$$V = \frac{1}{3}Sh$$где $S$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды.
Вычислим площадь основания (равностороннего треугольника):
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 = \frac{9\sqrt{3}}{4}$$Найдем объем пирамиды:$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot 6\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{162}{4} = 13.5$$Объем пирамиды равен $13.5.$
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна $4,$ а боковое ребро равно $\sqrt{17}.$
Найдем апофему (высоту боковой грани) по теореме Пифагора:$$ h_1 = \sqrt{(\sqrt{17})^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{17-4} = \sqrt{13} $$Найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора:$$ h_2 = \sqrt{(\sqrt{13})^2-\left(\frac{4}{2}\right)^2} = \sqrt{13-4} = 3 $$Вычислим площадь квадратного основания:$$ S = 4 \cdot 4 = 16 $$ Формула объема пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} S h $$Найдем объем по формуле объема пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 3 = 16 $$Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $16.$
В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $10,$ а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $7\sqrt{3}.$ Найдите объем пирамиды $SABC.$
Площадь правильного треугольника: $ S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} $
Формула объема пирамиды: $ V = \dfrac{1}{3}Sh $
Найдем площадь основания:$$ S_{ABC} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} $$Вычислим объем пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 25\sqrt{3} \cdot 7\sqrt{3}$$ $$V = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot 7 \cdot 3 = 175 $$Объем пирамиды $SABC$ равен $175.$
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AB,$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если $AB = 6,$ $AC = 18$ и $AD = 8.$
Площадь прямоугольного треугольника: $ S = \dfrac{1}{2}ab $
Формула объема пирамиды: $ V = \dfrac{1}{3}Sh $
Найдем площадь основания $($треугольник $ABC){:}$
$$ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 18 = 54 $$
Вычислим объем пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 54 \cdot 8 = 144 $$Объем пирамиды $ABCD$ равен $144.$
В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AB,$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если $AB = 2,$ $AC = 15$ и $AD = 7.$
Площадь прямоугольного треугольника: $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC $
Формула объема пирамиды: $V = \dfrac{1}{3} \cdot S \cdot AD $
Площадь основания $($треугольник $ABC){:}$ $$ S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 15 = 15 $$Объем пирамиды:$$ V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 7 = 35 $$Объем пирамиды $ABCD$ равен $35.$
Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $16,$ а боковые ребра равны $10.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Теорема Пифагора для нахождения апофемы:
$h =\sqrt{l^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} $
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды: $ S = \dfrac{1}{2} P h $
Найдем апофему пирамиды:
$$ h = \sqrt{10^2-8^2} = \sqrt{100-64} = 6 $$Вычислим периметр основания:$$ P = 3 \cdot 16 = 48 $$Найдем площадь боковой поверхности:$$ S = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 6 = 144 $$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $144.$