12. Планиметрия: Четырёхугольники и их элементы

Формула тангенса угла в прямоугольном треугольнике:
$$ \tg \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} $$Найдём длину отрезка $EB{:}$ $$ EB = \frac{AB-DC}{2} = \frac{87-17}{2} = 35 $$Вычислим тангенс острого угла:
$$ \tg B = \frac{CE}{EB} = \frac{14}{35} = 0.4 $$Тангенс острого угла трапеции равен $0.4.$

Формула площади трапеции:$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$Найдём высоту $DH{:}$ $$ \sin 150^\circ = \frac{1}{2} $$ $$ DH = AD \cdot \sin \angle ADC = 7 \cdot \frac{1}{2} = 3.5 $$Вычислим площадь:$$ S = \frac{AB + CD}{2} \cdot DH = \frac{18 + 6}{2} \cdot 3.5 = 42 $$Площадь трапеции равна $42.$

Найдём сторону $AD$ по теореме Пифагора:$$ AD = \sqrt{AC^2-AB^2} = \sqrt{17^2-8^2} = 15 $$Вычислим площадь:$$ S = AB \cdot AD = 8 \cdot 15 = 120 $$Площадь параллелограмма равна $120.$

Свойства параллелограмма:
Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Медианы треугольника пересекаются в отношении $2:1.$
Найдём $BO$ (половина диагонали):$$ BO = \frac{BD}{2} = 6 $$Вычислим $BK$ через свойство медиан:$$ BK = \frac{2}{3}BO = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4 $$Длина отрезка $BK$ равна $4.$

Формула средней линии трапеции:$$ m = \frac{a + b}{2} $$Найдём длину основания $AD{:}$ Проведём высоту $CH{:}$ $$ HD = \sqrt{CD^2-AB^2} = \sqrt{25-16} = 3 $$ Вычислим $AD{:}$ $$ AD = BC + HD = 5 + 3 = 8 $$Вычислим среднюю линию: $$ m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{5 + 8}{2} = 6.5 $$Средняя линия трапеции равна $6.5.$

Найдём соотношение диагоналей:
$$ AO = OC = \frac{AC}{2} = AB = CD $$ Рассмотрим треугольник $COD{:}$ $$ \angle COD + 2\angle CDO = 180^\circ $$ $$ \angle CDO = \frac{180^\circ-104^\circ}{2} = 38^\circ $$ Угол между диагоналями:$$ \angle AOD = 180^\circ-\angle COD = 142^\circ $$ $$ \text{Искомый угол} = \min(38^\circ, 142^\circ) = 38^\circ $$Угол между диагоналями параллелограмма равен $38^\circ.$

Найдём половину диагонали $AC{:}$ $$ AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{7}}{2} $$По теореме Пифагора найдём $BO{:}$ $$ BO = \sqrt{AB^2-AO^2} = \sqrt{4-\frac{7}{4}} = \frac{3}{2} $$Вычислим синус угла $BAC{:}$ $$ \sin \angle BAC = \frac{BO}{AB} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = 0.75$$Синус угла $BAC$ равен $0.75.$

Формула площади трапеции:$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$Найдём острый угол между боковой стороной и основанием:$$ 180^\circ-150^\circ = 30^\circ $$Вычислим высоту $h$ через синус угла: $$ h = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3 $$Рассчитаем площадь трапеции: $$ S = \frac{8 + 16}{2} \cdot 3 = 12 \cdot 3 = 36 $$Площадь трапеции равна $36.$

Найдём угол $CDA$: $$ \angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 54^\circ + 23^\circ = 77^\circ $$В равнобедренной трапеции: $$ \angle BAD = \angle CDA = 77^\circ $$В треугольнике $ABD$ сумма углов $180^\circ{:}$ $$ \angle ABD = 180^\circ-\angle BAD-\angle BDA $$ $$\angle ABD =180^\circ-77^\circ-54^\circ = 49^\circ $$Угол $ABD$ равен $49^\circ.$

Формулы площадей:

Площадь квадрата: $S_{\text{кв}} = a^2.$
Площадь ромба: $S_{\text{ром}} = a^2 \cdot \sin \alpha.$

Найдём сторону фигур из площади квадрата:$$ a = \sqrt{64} = 8 $$Вычислим площадь ромба: $$ S_{\text{ром}} = a^2 \cdot \sin 30^\circ$$ $$S_{\text{ром}} = 64 \cdot 0.5 = 32 $$Площадь ромба равна $32.$

Найдем разницу между двумя основаниями:$$104-56=48$$Поскольку трапеция равнобедренная, высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают равные отрезки на большем основании.
Найдем длину одного такого отрезка:$$\frac{48}{2}=24$$Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CEB.$
По теореме Пифагора найдем высоту $CE{:}$ $$CE^2+EB^2=CB^2$$ $$CE^2+24^2=30^2$$ $$CE^2=30^2-24^2=324$$ $$CE=18$$Рассмотрим треугольник $\triangle ACE.$ Известно,что $AE=AB+BE=56+24=80,$ а $CE=18.$ По теореме Пифагора найдем диагональ $AC{:}$ $$AC^2=AE^2+CE^2$$ $$AC^2=80^2+18^2=6\space400+324=6\space724$$ $$AC=\sqrt{6\space724} = 82$$Длину диагонали трапеции равна $82.$

Так как $AB = DC + 2 \cdot AH $, то$$ AH = \frac{21-11}{2} = 5 $$Таким образом, высоту трапеции сможем найти по теореме Пифагора:$$ 13^2 = 5^2 + DH^2 $$ $$ DH = \sqrt{169-25} = 12 $$Высота трапеции равна $12$.

Сумма двух соседних углов ромба равна $180^\circ$, следовательно, два угла, сумма которых равна $120^\circ$, являются противоположными углами ромба.

Каждый из этих углов равен $$120^\circ : 2 = 60^\circ$$ Меньшая диагональ ромба лежит напротив его меньшего угла, равного $60^\circ$.

Стороны ромба равны, поэтому треугольник, сторонами которого являются две стороны ромба и его меньшая диагональ, — равносторонний.

Следовательно, сторона ромба равна его меньшей диагонали, то есть равна $25$.

Стороны ромба равны, значит, периметр ромба равен $100$.

Определение типа параллелограмма:
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является ромбом.

В ромбе все стороны равны, поэтому:$$AB=BC=CD=DA=26$$Пусть точка пересечения диагоналей $O.$ Тогда: $$AO=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10$$Нахождение половины диагонали $BD.$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB,$ где: $$AO=10, AB=26$$По теореме Пифагора:$$BO = \sqrt{AB^2-AO^2} = \sqrt{26^2-10^2} = 24.$$Диагональ $BD$ равна:$$BD=2\cdot BO=2\cdot24=48$$Сторона $BD$ равна $48.$

Поскольку диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, данный четырёхугольник является ромбом.

В ромбе все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Вычислим половины диагоналей:
$$\frac{22}{2} = 11 \quad \text{и} \quad \frac{120}{2} = 60$$Сторону ромба найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей: $$\sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3\space600} = \sqrt{3\space721} = 61$$ Периметр ромба равен: $$61 \cdot 4 = 244$$Периметр параллелограмма (ромба) равен $244.$

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон. Зная площадь и одну из сторон, найдём вторую сторону:
$$ \text{Вторая сторона} = \frac{660}{11} = 60 $$Длина диагонали прямоугольника находится по теореме Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $11$ и $60$: $$ AC = \sqrt{11^2 + 60^2} = \sqrt{121 + 3\space600} = \sqrt{3\space721} = 61 $$Длина диагонали прямоугольника равна $61.$

Поскольку диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, данный параллелограмм является ромбом.
В ромбе все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Половины диагоналей составляют: $$ \frac{16}{2} = 8 \quad \text{и} \quad \frac{30}{2} = 15 $$Сторону ромба находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей:
$$ \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 $$Периметр ромба равен: $$ 17 \cdot 4 = 68 $$Периметр параллелограмма (ромба) равен $68.$

Поскольку все стороны ромба равны, длина каждой стороны составляет:
$$ \frac{84}{4} = 21 $$ Сумма двух углов ромба равна $120^\circ$, значит каждый из этих углов:
$$ \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $$Оставшиеся два угла в сумме дают: $$ 360^\circ-120^\circ = 240^\circ $$
Следовательно, каждый из них равен: $$ \frac{240^\circ}{2} = 120^\circ $$Меньшая диагональ ромба лежит напротив угла $60^\circ$ и делит ромб на два равносторонних треугольника. Это означает, что меньшая диагональ равна длине стороны ромба.

Длина меньшей диагонали ромба равна $21,$ так как она совпадает со стороной равностороннего треугольника, образованного диагональю и сторонами ромба.

Анализ угла трапеции:
Угол в $135^\circ$ означает, что смежный с ним угол равен:
$$180^\circ-135^\circ = 45^\circ$$Проведение высоты:
Опустим высоту из вершины с углом $135^\circ$ на большее основание. Образовался прямоугольный треугольник с углами:$$90^\circ,\ 45^\circ,\ 45^\circ$$
Свойства полученного треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты равны. Разность оснований: $$7-4 = 3$$Нахождение меньшей боковой стороны:
Меньшая боковая сторона трапеции равна высоте, которая в данном случае равна катету $3.$

Вычисление площади.
Площадь параллелограмма можно найти через меньшую сторону и её высоту:
$$ S = 9 \cdot 8 = 72 $$ Нахождение искомой высоты.
Ту же площадь можно выразить через большую сторону:$$ 72 = 12 \cdot x $$где $x$ — искомая высота.
Решение уравнения:$$ x = \frac{72}{12} = 6 $$ Высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна $6$.