14. Системы счисления. Кодирование чисел: все задания

Представим все слагаемые через степени числа $25$: $$3\cdot625^{173}=3\cdot(25^2)^{173}=3\cdot25^{346}$$ $$4\cdot125^{180}=4\cdot5^{540}=4\cdot25^{270}$$ $$3\cdot25^{157}=3\cdot25^{157}$$ $$2\cdot5^{155}=2\cdot5\cdot(5^2)^{77}=10\cdot25^{77}$$ $$156=6\cdot25+6.$$

Получаем: $$3\cdot25^{346}+4\cdot25^{270}+3\cdot25^{157}+10\cdot25^{77}+6\cdot25^1+6\cdot25^0.$$

Все коэффициенты меньше $25$, поэтому переносов между разрядами не возникает.

В записи числа ненулевые цифры находятся в разрядах с номерами: $346,\ 270,\ 157,\ 77,\ 1,\ 0$.

Всего запись содержит $346+1=347$ цифр, из которых $6$ цифр ненулевые.

Количество нулей: $347-6=341$.

Представим все слагаемые как степени числа $3$: $$9^{11}\cdot3^{20}=(3^2)^{11}\cdot3^{20}=3^{42}$$ $$27=3^3.$$

Получаем: $3^{42}-3^9-3^3$.

Сначала рассмотрим разность $3^{42}-3^9$. В троичной записи она содержит цифры $2$ в разрядах от $41$ до $9$ и нули в последних девяти разрядах.

При вычитании $3^3$ происходит заём из разряда $3^9$. Поэтому цифра в разряде $3^9$ становится равной $1$, а в разрядах от $3^8$ до $3^3$ появляются цифры $2$.

Получаем троичную запись: $$\underbrace{22\ldots2}{32},1,\underbrace{222222}{6},000_3.$$

Количество цифр $2$: $32+6=38$.

Представим все слагаемые через степени числа $27$: $$2\cdot729^{2014}=2\cdot(27^2)^{2014}=2\cdot27^{4028},$$ $$2\cdot243^{2016}=2\cdot(3^5)^{2016}=2\cdot27^{3360},$$ $$-2\cdot81^{2018}=-2\cdot(3^4)^{2018}=-18\cdot27^{2690},$$ $$-2\cdot9^{2022}=-2\cdot(3^2)^{2022}=-2\cdot27^{1348}.$$

Получаем: $$2\cdot27^{4028}+2\cdot27^{3360}-18\cdot27^{2690}+2\cdot27^{2020}-2\cdot27^{1348}-2024.$$

Рассмотрим разность: $$2\cdot27^{3360}-18\cdot27^{2690}$$ $$=27^{3360}+(27^{670}-18)\cdot27^{2690}.$$

В $27$-ричной записи числа $27^{670}-18$ содержится $669$ цифр со значением $26$ и одна цифра со значением $9$.

Следовательно, эта часть выражения содержит $669$ цифр, значение которых превышает $9$.

Рассмотрим оставшуюся часть выражения. Представим число $2024$ в системе счисления с основанием $27$: $$2024=2\cdot27^2+20\cdot27+26.$$

Тогда: $$2\cdot27^{2020}-2\cdot27^{1348}-2024$$ $$=27^{2020}+(27^{672}-3)\cdot27^{1348}+(27^{1348}-2024).$$

В записи числа $27^{672}-3$ содержится $671$ цифра со значением $26$ и одна цифра со значением $24$.

Количество цифр, значение которых превышает $9$: $671+1=672.$

В записи числа $27^{1348}-2024$ содержится $1345$ цифр со значением $26$, после которых стоят цифры со значениями $24$, $6$ и $1$.

Количество цифр, значение которых превышает $9$: $1345+1=1346.$

Остальные цифры имеют значения $0$, $1$, $2$ или $9$ и не превышают $9$.

Общее количество искомых цифр: $669+672+1346=2687.$

Так как $15\equiv1\pmod{14},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $15$, при делении на $14$ равен остатку от суммы его цифр.

Сумма цифр первого числа: $9+9+6+5+8+x+2+9=48+x.$

Сумма цифр второго числа: $1+0+2+x+0+2+3=8+x.$

Сумма цифр всего выражения: $(48+x)+(8+x)=56+2x.$

Для кратности выражения числу $14$ должно выполняться: $$56+2x\equiv0\pmod{14}.$$

Так как $56$ кратно $14$, получаем: $$2x\equiv0\pmod{14},$$ $$x\equiv0\pmod7.$$

Цифра $x$ в $15$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $14$. Подходящие значения: $x=0,\ 7,\ 14.$ Наибольшее из них: $x=14.$

Вычислим значения чисел при $x=14$: $$99658x29_{15}=99658(14)29_{15}=1645089564,$$ $$102x023_{15}=102(14)023_{15}=11539158.$$

Значение выражения: $$1645089564+11539158=1656628722.$$

Найдём частное от деления на $14$: $$1656628722:14=118330623.$$

Представим все слагаемые через степени числа $4$: $$16^8\cdot4^{20}=(4^2)^8\cdot4^{20}=4^{16}\cdot4^{20}=4^{36},$$ $$64=4^3.$$

Получаем: $4^{36}-4^5-4^3.$

Рассмотрим сначала разность: $4^{36}-4^5.$

В четверичной системе она имеет вид: $$\underbrace{33\ldots3}{31}\underbrace{00\ldots0}{5}{}_4.$$

Теперь вычтем $4^3$. Для этого происходит заём из разряда $4^5$: цифра в разряде $4^5$ становится равной $2$, а в разрядах $4^4$ и $4^3$ появляются цифры $3$.

Получаем запись: $$\underbrace{33\ldots3}_{30}233000_4.$$

Количество цифр $3$: $30+2=32.$

Представим все слагаемые через степени числа $3$: $$9^{30}=(3^2)^{30}=3^{60},$$ $$9=3^2.$$

Получаем: $$3^{90}+3^{60}-3^2.$$

Рассмотрим разность: $$3^{60}-3^2=3^2(3^{58}-1).$$

В троичной системе число $3^{58}-1$ записывается с помощью $58$ цифр $2$: $$3^{58}-1=\underbrace{22\ldots2}_{58}{}_3.$$

При умножении на $3^2$ справа добавляются два нуля: $$3^{60}-3^2=\underbrace{22\ldots2}_{58}00_3.$$

Слагаемое $3^{90}$ добавляет единицу в разряд с номером $90$ и не изменяет последовательность цифр $2$.

Следовательно, в троичной записи выражения содержится $58$ цифр $2$.

Представим все слагаемые через степени числа $6$: $$216^9=(6^3)^9=6^{27},$$ $$36^{10}=(6^2)^{10}=6^{20}.$$

Получаем: $$5\cdot6^{27}-6^{20}+4\cdot6^{11}-8.$$

Рассмотрим первую часть выражения: $$5\cdot6^{27}-6^{20}$$ $$=4\cdot6^{27}+(6^7-1)\cdot6^{20}.$$

Число $6^7-1$ в системе счисления с основанием $6$ записывается с помощью семи цифр $5$: $$6^7-1=\underbrace{55\ldots5}_{7}{}_6.$$

Следовательно, первая часть выражения содержит $7$ цифр $5$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $$4\cdot6^{11}-8=3\cdot6^{11}+(6^{11}-8).$$

Число $8$ в системе счисления с основанием $6$ имеет вид: $8=12_6.$ Поэтому: $$6^{11}-8=\underbrace{55\ldots5}_{9}44_6.$$

Вторая часть выражения содержит $9$ цифр $5$.

Вся запись числа имеет вид: $$4\underbrace{55\ldots5}{7}\underbrace{00\ldots0}{8}3\underbrace{55\ldots5}_{9}44_6.$$

Общее количество цифр $5$: $7+9=16.$

Представим все слагаемые через степени числа $3$: $$9^{28}\cdot3^{10}=(3^2)^{28}\cdot3^{10}=3^{56}\cdot3^{10}=3^{66},$$ $$81=3^4.$$

Получаем: $$3^{66}-3^8-3^4.$$

Сначала рассмотрим разность: $$3^{66}-3^8.$$

В троичной записи она содержит $58$ цифр $2$ в разрядах от $65$ до $8$, после которых стоят восемь нулей: $$\underbrace{22\ldots2}{58}\underbrace{00\ldots0}{8}{}_3.$$

Теперь вычтем $3^4$. Для этого происходит заём из разряда $3^8$.

Цифра в разряде $3^8$ уменьшается с $2$ до $1$, а в разрядах от $3^7$ до $3^4$ появляются четыре цифры $2$.

Получаем: $$\underbrace{22\ldots2}{57}1\underbrace{2222}{4}0000_3.$$

Количество цифр $2$: $57+4=61.$

Представим все слагаемые через степени числа $7$: $$49^{16}=(7^2)^{16}=7^{32},$$ $$49=7^2.$$

Получаем: $$7^{48}+7^{32}-7^2.$$

Рассмотрим разность: $$7^{32}-7^2=7^2(7^{30}-1).$$

Число $7^{30}-1$ в семеричной системе счисления записывается с помощью $30$ цифр $6$: $$7^{30}-1=\underbrace{66\ldots6}_{30}{}_7.$$

При умножении на $7^2$ справа добавляются два нуля: $$7^{32}-7^2=\underbrace{66\ldots6}_{30}00_7.$$

Слагаемое $7^{48}$ добавляет единицу в разряд с номером $48$ и не изменяет последовательность цифр $6$.

Следовательно, в семеричной записи выражения содержится $30$ цифр $6$.

Представим все слагаемые через степени числа $8$: $$7\cdot512^{1912}=7\cdot(8^3)^{1912}=7\cdot8^{5736},$$ $$6\cdot64^{1954}=6\cdot(8^2)^{1954}=6\cdot8^{3908}.$$

Получаем: $$7\cdot8^{5736}+6\cdot8^{3908}-5\cdot8^{1991}-4\cdot8^{1980}-2022.$$

Рассмотрим разность: $$6\cdot8^{3908}-5\cdot8^{1991}$$ $$=5\cdot8^{3908}+(8^{1917}-5)\cdot8^{1991}.$$

Число $8^{1917}-5$ в восьмеричной системе имеет вид: $$\underbrace{77\ldots7}_{1916}3_8.$$

Следовательно, в этой части записи содержится $1916$ цифр $7$.

При вычитании $4\cdot8^{1980}$ происходит заём из разряда $8^{1991}$. Цифра $3$ в этом разряде становится равной $2$, между разрядами $8^{1990}$ и $8^{1981}$ появляются $10$ цифр $7$, а в разряде $8^{1980}$ получается цифра $4$.

Теперь вычтем число $2022$. Запишем его в восьмеричной системе: $2022=3746_8.$

При вычитании числа $3746_8$ происходит заём из разряда $8^{1980}$. Цифра $4$ становится равной $3$, в разрядах от $8^{1979}$ до $8^4$ появляются цифры $7$.

Количество этих цифр: $$1979-4+1=1976.$$

Последние четыре цифры равны: $$10000_8-3746_8=4032_8.$$

Таким образом, восьмеричная запись выражения имеет вид: $$7\underbrace{00\ldots0}{1827}5 \underbrace{77\ldots7}{1916}2$$ $$\underbrace{77\ldots7}{10}3 \underbrace{77\ldots7}{1976}4032_8.$$

Первая цифра записи также равна $7$. Поэтому общее количество цифр $7$: $1+1916+10+1976=3903.$

Представим все слагаемые через степени числа $5$: $$25^6=(5^2)^6=5^{12},$$ $$25=5^2.$$

Получаем: $$5^{12}+5^4-5^2.$$

Рассмотрим разность: $5^4-5^2=5^2(5^2-1).$

Число $5^2-1$ в пятеричной системе записывается двумя цифрами $4$: $5^2-1=44_5.$

При умножении на $5^2$ справа добавляются два нуля: $$5^4-5^2=4400_5.$$

Слагаемое $5^{12}$ добавляет единицу в разряд с номером $12$ и не изменяет цифры $4$.

Запись числа имеет вид: $$1\underbrace{00\ldots0}_{8}4400_5.$$

Следовательно, в пятеричной записи выражения содержится $2$ цифры «4».

Представим все слагаемые через степени числа $2$: $$4^{16}=(2^2)^{16}=2^{32},$$ $$8=2^3.$$

Получаем: $$2^{36}+2^{32}-2^3.$$

Рассмотрим разность: $2^{32}-2^3.$

Число $2^{32}-1$ в двоичной системе записывается с помощью $32$ единиц. При вычитании ещё $7$ последние три единицы превращаются в нули: $$2^{32}-2^3=\underbrace{11\ldots1}_{29}000_2.$$

Следовательно, эта часть выражения содержит $29$ единиц.

Слагаемое $2^{36}$ добавляет ещё одну единицу в разряд с номером $36$ и не изменяет остальные единицы.

Общее количество единиц: $29+1=30.$

Так как $15\equiv1\pmod{14},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $15$, при делении на $14$ равен остатку от суммы его цифр.

Сумма цифр первого числа: $9+7+9+6+8+x+1+5=45+x.$

Сумма цифр второго числа: $7+x+2+3+3=15+x.$

Сумма цифр всего выражения: $$(45+x)+(15+x)=60+2x.$$

Для кратности выражения числу $14$ должно выполняться: $$60+2x\equiv0\pmod{14}.$$

Так как $60\equiv4\pmod{14},$ получаем: $$4+2x\equiv0\pmod{14},$$ $$2x\equiv10\pmod{14},$$ $$x\equiv5\pmod7.$$

Цифра $x$ в $15$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $14$. Подходящие значения: $x=5,\ 12.$

Наименьшее из них: $x=5.$

Вычислим значения чисел при $x=5$: $$97968515_{15}=1624635020,$$ $$75233_{15}=371748.$$

Значение выражения: $$1624635020+371748=1625006768.$$

Найдём частное от деления на $14$: $$1625006768:14=116071912.$$

Представим все слагаемые через степени числа $5$: $$4\cdot125^{32}=4\cdot(5^3)^{32}=4\cdot5^{96},$$ $$-3\cdot25^{25}=-3\cdot(5^2)^{25}=-3\cdot5^{50}.$$

Получаем: $$4\cdot5^{96}-3\cdot5^{50}+4\cdot5^{13}-14.$$

Рассмотрим первую часть выражения: $$4\cdot5^{96}-3\cdot5^{50}$$ $$=3\cdot5^{96}+(5^{46}-3)\cdot5^{50}.$$

Число $5^{46}-3$ в пятеричной системе имеет вид: $$5^{46}-3=\underbrace{44\ldots4}_{45}2_5.$$

Следовательно, первая часть выражения содержит $45$ цифр $4$.

Рассмотрим вторую часть выражения: $$4\cdot5^{13}-14=3\cdot5^{13}+(5^{13}-14).$$

Число $14$ в пятеричной системе имеет вид: $14=24_5.$

Поэтому: $$5^{13}-14=\underbrace{44\ldots4}_{11}21_5.$$

Вторая часть выражения содержит $11$ цифр $4$.

Вся запись числа имеет вид: $$3\underbrace{44\ldots4}{45}2 \underbrace{00\ldots0}{36}3$$ $$\underbrace{44\ldots4}_{11}21_5.$$

Общее количество цифр $4$: $45+11=56.$

Если запись числа $22$ в системе счисления с основанием $p$ оканчивается на $4$, то остаток от деления числа $22$ на $p$ равен $4$: $$22\equiv4\pmod p.$$

Следовательно: $22-4=18$ должно делиться на $p$.

Делители числа $18$: $$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18.$$

Так как в записи используется цифра $4$, основание системы счисления должно быть больше $4$.

Подходящие основания: $6,\ 9,\ 18.$

Проверим:

• $22=34_6,$
• $22=24_9,$
• $22=14_{18}.$

Во всех записях последняя цифра равна $4$.

Представим все слагаемые через степени числа $8$: $$7\cdot512^{120}=7\cdot(8^3)^{120}=7\cdot8^{360},$$ $$-6\cdot64^{100}=-6\cdot(8^2)^{100}=-6\cdot8^{200}.$$

Получаем: $$7\cdot8^{360}+8^{210}-6\cdot8^{200}-255.$$

Рассмотрим разность: $$8^{210}-6\cdot8^{200}=(8^{10}-6)\cdot8^{200}.$$

В восьмеричной системе число $8^{10}-6$ имеет вид: $$8^{10}-6=\underbrace{77\ldots7}_{9}2_8.$$

После умножения на $8^{200}$ справа добавляются $200$ нулей.

Теперь вычтем число $255$. Представим его в восьмеричной системе: $255=377_8.$

Рассмотрим последнюю часть числа: $$2\cdot8^{200}-255=8^{200}+(8^{200}-255).$$

Так как $8^{200}-255=(8^{197}-1)\cdot8^3+(8^3-255),$ а $8^3-255=512-255=257=401_8,$ получаем: $$8^{200}-255=\underbrace{77\ldots7}_{197}401_8.$$

Таким образом, вся восьмеричная запись выражения имеет вид: $$7\underbrace{00\ldots0}{150} \underbrace{77\ldots7}{9}1$$ $$\underbrace{77\ldots7}_{197}401_8.$$

После первой цифры $7$ находятся $150$ нулей, так как нулевые разряды имеют номера от $359$ до $210$: $$359-210+1=150.$$

Ещё один ноль содержится в последних цифрах $401$.

Общее количество нулей: $$150+1=151.$$

Проверим наибольшее допустимое значение: $x=2035.$

Представим число $x-1=2034$ в троичной системе счисления: $$2034=2\cdot3^6+2\cdot3^5+1\cdot3^4+1\cdot3^2,$$ $$2034=2210100_3.$$

Число $3^{100}-1$ в троичной системе состоит из $100$ цифр $2$: $$3^{100}-1=\underbrace{22\ldots2}_{100}{}_3.$$

Преобразуем выражение: $$3^{100}-2035=(3^{100}-1)-2034.$$

Вычитаем троичные числа: $$3^{100}-2035=$$ $$\underbrace{22\ldots2}_{93}0012122_3.$$

В полученной троичной записи содержится ровно два нуля.

Значение $x=2035$ удовлетворяет условию и является наибольшим возможным, так как по условию $x$ не превышает $2035$.

Так как $15\equiv1\pmod{14},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $15$, при делении на $14$ равен остатку от суммы его цифр.

Сумма цифр первого числа: $9+8+9+7+x+2+1=36+x.$

Сумма цифр второго числа: $1+2+x+0+2+3=8+x.$

Сумма цифр всего выражения: $(36+x)+(8+x)=44+2x.$

Для кратности выражения числу $14$ должно выполняться: $$44+2x\equiv0\pmod{14}.$$

Так как $$44\equiv2\pmod{14},$$ получаем: $$2+2x\equiv0\pmod{14},$$ $$2x\equiv12\pmod{14},$$ $$x\equiv6\pmod7.$$

Цифра $x$ в $15$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $14$. Подходящие значения: $x=6,\ 13.$

Наименьшее из них: $x=6.$

Вычислим значения чисел при $x=6$: $$9897621_{15}=109071256,$$ $$126023_{15}=880908.$$

Значение выражения: $$109071256+880908=109952164.$$

Найдём частное от деления на $14$: $$109952164:14=7853726.$$

Преобразуем выражение: $$3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1).$$

Число $3^{100}-1$ в троичной системе состоит из $100$ цифр $2$: $$3^{100}-1=\underbrace{22\ldots2}_{100}{}_3.$$

При вычитании числа $x-1$ заимствований не возникает, так как каждая его троичная цифра не превышает $2$. Поэтому нули в записи числа $3^{100}-x$ появляются на тех позициях, где в троичной записи числа $x-1$ стоят цифры $2$.

Таким образом, необходимо найти наибольшее число $x-1$, не превышающее $2029$, в троичной записи которого содержится максимальное количество цифр $2$.

Переведём число $2029$ в троичную систему: $2029=2210011_3.$

Так как $2029<3^7=2187,$ число $x-1$ содержит не более семи троичных цифр.

Семь цифр $2$ содержатся только в числе $2222222_3=2186,$ но оно больше $2029$. Следовательно, максимальное возможное количество цифр $2$ равно $6$.

Наибольшее число, не превышающее $2210011_3$ и содержащее шесть цифр $2$: $2202222_3.$

Переведём его в десятичную систему: $$2202222_3=2\cdot3^6+2\cdot3^5+2\cdot3^3+2\cdot3^2+2\cdot3+2=2024.$$

Следовательно: $$x-1=2024,$$ $$x=2025.$$

Проверим троичную запись выражения: $$3^{100}-2025=\underbrace{22\ldots2}_{93}0020000_3.$$

В этой записи содержится $6$ нулей — максимально возможное количество.

Представим все слагаемые через степени числа $3$: $$9^{12}=(3^2)^{12}=3^{24}.$$

Получаем: $3^{24}+3^8-3.$

Рассмотрим разность: $3^8-3=3(3^7-1).$

Число $3^7-1$ в троичной системе записывается с помощью семи цифр $2$: $$3^7-1=\underbrace{22\ldots2}_{7}{}_3.$$

При умножении на $3$ справа добавляется один ноль: $$3^8-3=\underbrace{22\ldots2}_{7}0_3.$$

Слагаемое $3^{24}$ добавляет единицу в разряд с номером $24$ и не изменяет последовательность цифр $2$.

Следовательно, в троичной записи выражения содержится $7$ цифр $2$.