Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292201
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $15$: $$9897x21_{15}+12x023_{15}.$$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $15$-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно $14$. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $14$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Так как $15\equiv1\pmod{14},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $15$, при делении на $14$ равен остатку от суммы его цифр.
Сумма цифр первого числа: $9+8+9+7+x+2+1=36+x.$
Сумма цифр второго числа: $1+2+x+0+2+3=8+x.$
Сумма цифр всего выражения: $(36+x)+(8+x)=44+2x.$
Для кратности выражения числу $14$ должно выполняться: $$44+2x\equiv0\pmod{14}.$$
Так как $$44\equiv2\pmod{14},$$ получаем: $$2+2x\equiv0\pmod{14},$$ $$2x\equiv12\pmod{14},$$ $$x\equiv6\pmod7.$$
Цифра $x$ в $15$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $14$. Подходящие значения: $x=6,\ 13.$
Наименьшее из них: $x=6.$
Вычислим значения чисел при $x=6$: $$9897621_{15}=109071256,$$ $$126023_{15}=880908.$$
Значение выражения: $$109071256+880908=109952164.$$
Найдём частное от деления на $14$: $$109952164:14=7853726.$$
20
