14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292195

Преобразуем выражение: $$3^{100}-x=(3^{100}-1)-(x-1).$$

Число $3^{100}-1$ в троичной системе состоит из $100$ цифр $2$: $$3^{100}-1=\underbrace{22\ldots2}_{100}{}_3.$$

При вычитании числа $x-1$ заимствований не возникает, так как каждая его троичная цифра не превышает $2$. Поэтому нули в записи числа $3^{100}-x$ появляются на тех позициях, где в троичной записи числа $x-1$ стоят цифры $2$.

Таким образом, необходимо найти наибольшее число $x-1$, не превышающее $2029$, в троичной записи которого содержится максимальное количество цифр $2$.

Переведём число $2029$ в троичную систему: $2029=2211011_3.$

Так как $2029<3^7=2187,$ число $x-1$ содержит не более семи троичных цифр.

Семь цифр $2$ содержатся только в числе $2222222_3=2186,$ но оно больше $2029$. Следовательно, максимальное возможное количество цифр $2$ равно $6$.

Наибольшее число, не превышающее $2211011_3$ и содержащее шесть цифр $2$: $2202222_3.$

Переведём его в десятичную систему: $$2202222_3=2\cdot3^6+2\cdot3^5+2\cdot3^3+2\cdot3^2+2\cdot3+2=2024.$$

Следовательно: $$x-1=2024,$$ $$x=2025.$$

Проверим троичную запись выражения: $$3^{100}-2025=\underbrace{22\ldots2}_{93}0020000_3.$$

В этой записи содержится $6$ нулей — максимально возможное количество.