Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292198
Значение арифметического выражения $3^{100}-x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее $2035$, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в троичной записи числа, являющегося значением данного арифметического выражения, содержится ровно два нуля.
В ответе запишите число в десятичной системе счисления.
Проверим наибольшее допустимое значение: $x=2035.$
Представим число $x-1=2034$ в троичной системе счисления: $$2034=2\cdot3^6+2\cdot3^5+1\cdot3^4+1\cdot3^2,$$ $$2034=2210100_3.$$
Число $3^{100}-1$ в троичной системе состоит из $100$ цифр $2$: $$3^{100}-1=\underbrace{22\ldots2}_{100}{}_3.$$
Преобразуем выражение: $$3^{100}-2035=(3^{100}-1)-2034.$$
Вычитаем троичные числа: $$3^{100}-2035=$$ $$\underbrace{22\ldots2}_{93}0012122_3.$$
В полученной троичной записи содержится ровно два нуля.
Значение $x=2035$ удовлетворяет условию и является наибольшим возможным, так как по условию $x$ не превышает $2035$.
20
