14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292179

Представим все слагаемые через степени числа $27$: $$2\cdot729^{2014}=2\cdot(27^2)^{2014}=2\cdot27^{4028},$$ $$2\cdot243^{2016}=2\cdot(3^5)^{2016}=2\cdot27^{3360},$$ $$-2\cdot81^{2018}=-2\cdot(3^4)^{2018}=-18\cdot27^{2690},$$ $$-2\cdot9^{2022}=-2\cdot(3^2)^{2022}=-2\cdot27^{1348}.$$

Получаем: $$2\cdot27^{4028}+2\cdot27^{3360}-18\cdot27^{2690}+2\cdot27^{2020}-2\cdot27^{1348}-2024.$$

Рассмотрим разность: $$2\cdot27^{3360}-18\cdot27^{2690}$$ $$=27^{3360}+(27^{670}-18)\cdot27^{2690}.$$

В $27$-ричной записи числа $27^{670}-18$ содержится $669$ цифр со значением $26$ и одна цифра со значением $9$.

Следовательно, эта часть выражения содержит $669$ цифр, значение которых превышает $9$.

Рассмотрим оставшуюся часть выражения. Представим число $2024$ в системе счисления с основанием $27$: $$2024=2\cdot27^2+20\cdot27+26.$$

Тогда: $$2\cdot27^{2020}-2\cdot27^{1348}-2024$$ $$=27^{2020}+(27^{672}-3)\cdot27^{1348}+(27^{1348}-2024).$$

В записи числа $27^{672}-3$ содержится $671$ цифра со значением $26$ и одна цифра со значением $24$.

Количество цифр, значение которых превышает $9$: $671+1=672.$

В записи числа $27^{1348}-2024$ содержится $1345$ цифр со значением $26$, после которых стоят цифры со значениями $24$, $6$ и $1$.

Количество цифр, значение которых превышает $9$: $1345+1=1346.$

Остальные цифры имеют значения $0$, $1$, $2$ или $9$ и не превышают $9$.

Общее количество искомых цифр: $669+672+1346=2687.$