Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292180
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием $15$: $$99658x29_{15}+102x023_{15}.$$
В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита $15$-ричной системы счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором значение данного арифметического выражения кратно $14$. Для найденного значения $x$ вычислите частное от деления значения арифметического выражения на $14$ и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления указывать не нужно.
Так как $15\equiv1\pmod{14},$ остаток числа, записанного в системе счисления с основанием $15$, при делении на $14$ равен остатку от суммы его цифр.
Сумма цифр первого числа: $9+9+6+5+8+x+2+9=48+x.$
Сумма цифр второго числа: $1+0+2+x+0+2+3=8+x.$
Сумма цифр всего выражения: $(48+x)+(8+x)=56+2x.$
Для кратности выражения числу $14$ должно выполняться: $$56+2x\equiv0\pmod{14}.$$
Так как $56$ кратно $14$, получаем: $$2x\equiv0\pmod{14},$$ $$x\equiv0\pmod7.$$
Цифра $x$ в $15$-ричной системе счисления может принимать значения от $0$ до $14$. Подходящие значения: $x=0,\ 7,\ 14.$ Наибольшее из них: $x=14.$
Вычислим значения чисел при $x=14$: $$99658x29_{15}=99658(14)29_{15}=1645089564,$$ $$102x023_{15}=102(14)023_{15}=11539158.$$
Значение выражения: $$1645089564+11539158=1656628722.$$
Найдём частное от деления на $14$: $$1656628722:14=118330623.$$
20
