Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
14. Системы счисления. Кодирование чисел: #292183
Значение арифметического выражения: $$9^{30}+3^{90}-9$$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
Представим все слагаемые через степени числа $3$: $$9^{30}=(3^2)^{30}=3^{60},$$ $$9=3^2.$$
Получаем: $$3^{90}+3^{60}-3^2.$$
Рассмотрим разность: $$3^{60}-3^2=3^2(3^{58}-1).$$
В троичной системе число $3^{58}-1$ записывается с помощью $58$ цифр $2$: $$3^{58}-1=\underbrace{22\ldots2}_{58}{}_3.$$
При умножении на $3^2$ справа добавляются два нуля: $$3^{60}-3^2=\underbrace{22\ldots2}_{58}00_3.$$
Слагаемое $3^{90}$ добавляет единицу в разряд с номером $90$ и не изменяет последовательность цифр $2$.
Следовательно, в троичной записи выражения содержится $58$ цифр $2$.
20
